《2025年作业本江西教育出版社七年级数学上册人教版》

8.定义：$a$是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为$a$的“哈利数”.
如2的“哈利数”是$\frac{1}{1-2}=-1$，$-1$的“哈利数”是$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$.
问题：已知$a_1=\frac{1}{3}$，$a_2$是$a_1$的“哈利数”，$a_3$是$a_2$的“哈利数”，$a_4$是$a_3$的“哈利数”，依此类推.解决下列问题：
(1)$a_2=$$\frac{3}{2}$，$a_3=$$-2$，$a_4=$$\frac{1}{3}$；
(2)请根据(1)中的计算结果，直接写出$a_{2023}a_{2024}a_{2025}=$$-\frac{2}{9}$；
(3)计算：$a_1+a_2+a_3+a_4+\cdots+a_{1801}$.
$75\frac{1}{3}$

答案：
(1)解：由题意得，
$a_2 = \frac{1}{1 - a_1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$
$a_3 = \frac{1}{1 - a_2} = \frac{1}{1 - \frac{3}{2}} = -2$
$a_4 = \frac{1}{1 - a_3} = \frac{1}{1 - (-2)} = \frac{1}{3}$
(2)由
(1)可知，数列以$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{2}$，$-2$，$\frac{1}{3}$，$\cdots$循环，周期为$4$。
$2023÷4 = 505\cdots\cdots3$，故$a_{2023} = a_3 = -2$
$2024÷4 = 506$，故$a_{2024} = a_4 = \frac{1}{3}$
$2025÷4 = 506\cdots\cdots1$，故$a_{2025} = a_1 = \frac{1}{3}$
$a_{2023}a_{2024}a_{2025} = (-2)×\frac{1}{3}×\frac{1}{3} = -\frac{2}{9}$
(3)解：由
(1)得，一个周期内的和为$\frac{1}{3} + \frac{3}{2} + (-2) + \frac{1}{3} = \frac{2}{6} + \frac{9}{6} - \frac{12}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$
$1801÷4 = 450\cdots\cdots1$
$a_1 + a_2 + \cdots + a_{1801} = 450×\frac{1}{6} + a_1 = 75 + \frac{1}{3} = 75\frac{1}{3}$
(1)$\frac{3}{2}$，$-2$，$\frac{1}{3}$
(2)$-\frac{2}{9}$
(3)$75\frac{1}{3}$

9.数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法.我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题.如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推.
(1)阴影部分的面积是______$\frac{1}{32}$；
(2)试求出$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^5}$的值；
$\frac{31}{32}$
(3)计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{100}}=$_________.$1-\frac{1}{2^{100}}$

答案： 【解析】：本题主要考查了数列的求和以及数形结合的思想。
（1）观察图形可知，阴影部分为$\triangle$⑤，
$\because$正方形纸片边长为1，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推，
$\therefore$部分⑤的面积为$\frac{1}{2^5}$ ，即阴影部分的面积为$\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$ 。
（2）由图可知，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$ 。
（3）设$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{100}}$ ①，
两边同时乘以$\frac{1}{2}$，可得$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{100}}+\frac{1}{2^{101}}$ ②，
①-②得：
$S-\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{101}}$，
即$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{101}}$，
两边同时乘以2，可得$S=1-\frac{1}{2^{100}}$。
【答案】：（1）$\frac{1}{32}$ ；（2）$\frac{31}{32}$；（3）$1-\frac{1}{2^{100}}$。