《2025年作业本江西教育出版社七年级数学上册人教版》

8.【提出问题】怎样比较$2025^{2026}与2026^{2025}$的大小?
【分析问题】为了解决这个问题,我们先写出它的一般形式,即比较$n^{n+1}与(n+1)^{n}$的大小(n 是正整数),然后我们分析$n= 1$,$n= 2$,$n= 3$……从中发现规律,经归纳、猜想,得出结论.
【探究过程】
(1)比较下列各组数的大小(填“＞”“＜”或“=”):
①$1^{2}$＜$2^{1}$;②$2^{3}$＜$3^{2}$;③$3^{4}$＞$4^{3}$;④$4^{5}$＞$5^{4}$.
(2)根据上面的结果,经过归纳,猜想$n^{n+1}与(n+1)^{n}$有怎样的大小关系?
【解决问题】
(3)根据上面归纳猜想的一般结论,试比较两个的数的大小:$2025^{2026}$＞$2026^{2025}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察了乘方运算以及数字的变化规律。为了比较$2025^{2026}$与$2026^{2025}$的大小，我们先将其转化为一般形式，即比较$n^{n+1}$与$(n+1)^{n}$的大小。然后通过计算特定的n值（如$n=1, 2, 3, 4$等）来观察规律，最后根据这个规律来推断$2025^{2026}$与$2026^{2025}$的大小关系。
（1）
① $1^{2} = 1$，$2^{1} = 2$，所以 $1^{2} ＜ 2^{1}$；
② $2^{3} = 8$，$3^{2} = 9$，所以 $2^{3} ＜ 3^{2}$；
③ $3^{4} = 81$，$4^{3} = 64$，所以 $3^{4} ＞ 4^{3}$；
④ $4^{5} = 1024$，$5^{4} = 625$，所以 $4^{5} ＞ 5^{4}$。
（2）
观察上面的结果，我们可以发现当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^{n}$；
而当$n$为大于或等于3的正整数时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^{n}$。
（3）
根据（2）中的结论，当$n=2025$（一个大于3的正整数）时，有$2025^{2026} ＞ 2026^{2025}$。
【答案】：
(1) ① ＜ ；② ＜ ；③ ＞ ；④ ＞ ；
(2) 当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^{n}$；当$n$为大于或等于3的正整数时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^{n}$；
(3) ＞。