《2025年启东中学作业本七年级数学上册苏科版盐城专版》

2.(2024·亭湖区月考)某校数学兴趣小组探究如下问题:
【问题引入】从 1,2,3,…,n(n 为整数,且$n ＞ 5$)这 n 个整数中任取 5 个整数,这 5 个整数之和共有多少种不同的结果?
【模型探究】我们采取一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,从中找出解决问题的方法.从 1,2,3 这 3 个整数中任取 2 个整数,这 2 个整数之和共有多少种不同的结果?
如表所示,所取的 2 个整数之和可以为 3,4,5,也就是从 3 到 5 的连续整数,其中最小是 3,最大是 5,所以共有 3 种不同的结果.
(1)从 1,2,3,4,5 这 5 个整数中任取 2 个整数,这 2 个整数之和共有7种不同的结果;
(2)从 1,2,3,…,50 这 50 个整数中任取 3 个整数,这 3 个整数之和共有142种不同的结果;
(3)归纳结论:从 1,2,3,…,n(n 为整数,且$n ＞ 5$)这 n 个整数中任取 5 个整数,这 5 个整数之和共有(5n-24)种不同的结果;(用含 n 的式子表示)
【问题解决】(4)从 80 张面值分别为 1 元,2 元,3 元,…,80 元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取 5 张奖券并把面值相加,共有376种不同的金额;
【问题拓展】(5)从 1,2,3,4,5,…,n(n 为整数,且$n ＞ 10$)这 n 个整数中去掉一个整数,从剩下的$(n - 1)$个整数中任取 3 个整数,使得取出的这些整数之和共有 123 种不同的结果,求 n 的值和此时去掉的数的所有可能.
解:从1,2,3,4,5,…,n(n为整数,且n＞10)这n个整数中,任取3个整数,这3个整数之和最大为n+n-2+n-1=3n-3,最小为1+2+3=6,所以从1,2,3,…,n(n为整数,且n＞10)这n个整数中任取3个整数之和共有3n-3-6+1=(3n-8)种结果.去掉1:最小为2+3+4=9,最大为3n-3,少6,7,8这三个结果,所以3n-8-3=3n-11=123,解得n=$\frac{134}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;去掉2:最小为1+3+4=8,最大为3n-3,少6,7这两个结果,所以3n-8-2=3n-10=123,解得n=$\frac{133}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;去掉3:最小为1+2+4=7,最大为3n-3,少6这一个结果,所以3n-8-1=3n-9=123,解得n=44,是整数,符合题意;去掉4:同理,少7这一个结果,所以3n-8-1=3n-9=123,解得n=44,是整数,符合题意;去掉5:结果并不减少,所以3n-8=123,解得n=$\frac{131}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;……去掉41:少一个结果,所以3n-8-1=3n-9=123,解得n=44,符合题意;去掉42:少一个结果,所以3n-8-1=3n-9=123,解得n=44,符合题意;去掉43:少两个结果,所以3n-8-2=3n-10=123,解得n=$\frac{133}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;去掉44:少三个结果,所以3n-8-3=3n-11=123,解得n=$\frac{134}{3}$,不是整数,不合题意,舍去.综上,n=44,此时去掉的数可能是3或4或41或42.

答案：
(1)7
(2)142
(3)(5n-24)
(4)376
(5)解:从1,2,3,4,5,…,n(n为整数,且n＞10)这n个整数中,任取3个整数,这3个整数之和最大为n+n-2+n-1=3n-3,最小为1+2+3=6,所以从1,2,3,…,n(n为整数,且n＞10)这n个整数中任取3个整数之和共有3n-3-6+1=(3n-8)种结果.去掉1:最小为2+3+4=9,最大为3n-3,少6,7,8这三个结果,所以3n-8-3=3n-11=123,解得n=$\frac{134}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;去掉2:最小为1+3+4=8,最大为3n-3,少6,7这两个结果,所以3n-8-2=3n-10=123,解得n=$\frac{133}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;去掉3:最小为1+2+4=7,最大为3n-3,少6这一个结果,所以3n-8-1=3n-9=123,解得n=44,是整数,符合题意;去掉4:同理,少7这一个结果,所以3n-8-1=3n-9=123,解得n=44,是整数,符合题意;去掉5:结果并不减少,所以3n-8=123,解得n=$\frac{131}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;……去掉41:少一个结果,所以3n-8-1=3n-9=123,解得n=44,符合题意;去掉42:少一个结果,所以3n-8-1=3n-9=123,解得n=44,符合题意;去掉43:少两个结果,所以3n-8-2=3n-10=123,解得n=$\frac{133}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;去掉44:少三个结果,所以3n-8-3=3n-11=123,解得n=$\frac{134}{3}$,不是整数,不合题意,舍去.综上,n=44,此时去掉的数可能是3或4或41或42.