《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 如图,在平面直角坐标系中,已知点 $ A(2,4) $,过点 $ A $ 作 $ AB \perp x $ 轴于点 $ B $,以坐标原点 $ O $ 为位似中心,将 $ \triangle AOB $ 缩小为原图形的 $ \frac{1}{2} $ 得到 $ \triangle COD $,则 $ CD $ 的长是( )

A.1
B.2
C.$ 2\sqrt{5} $
D.$ \sqrt{5} $

答案： 1.B　[解析]根据题意，得△COD∽△AOB,相似比是$\frac{1}{2}$.
∵点A(2,4),
∴AB=4,
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=2.故选B.

2 如图,在平面直角坐标系中,正方形 $ ABCD $ 与正方形 $ BEFG $ 是以原点 $ O $ 为位似中心的位似图形,且相似比为 $ \frac{1}{3} $,点 $ A,B,E $ 在 $ x $ 轴上,若正方形 $ BEFG $ 的边长为 6,则 $ D $ 点坐标为( )

A.$ \left( \frac{1}{2},2 \right) $
B.$ \left( \frac{1}{3},1 \right) $
C.$ (1,2) $
D.$ \left( \frac{1}{4},2 \right) $

答案： 2.C　[解析]
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{AD}{BG}$=$\frac{1}{3}$,AD//BG.
∵BG=6,
∴AD=AB=2.
∵AD//BG,
∴易证△OAD∽△OBG,
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{AD}{BG}$=$\frac{1}{3}$,即$\frac{OA}{OA+2}$=$\frac{1}{3}$,解得OA=1,
∴D点坐标为(1,2),故选C.

3 [2023 山东烟台中考] 如图,在直角坐标系中,每个网格小正方形的边长均为 1 个单位长度,以点 $ P $ 为位似中心作正方形 $ PA_1A_2A_3 $,正方形 $ PA_4A_5A_6,… $,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形 $ PA_1A_2A_3 $ 的顶点坐标分别为 $ P(-3,0),A_1(-2,1),A_2(-1,0),A_3(-2,-1) $,则顶点 $ A_{100} $ 的坐标为( )

A.$ (31,34) $
B.$ (31,-34) $
C.$ (32,35) $
D.$ (32,0) $

答案： 3.A　[解析]由题图可知,A₁,A₂,A₃,…所在射线每3次一循环.
∵(100 - 1)÷3 = 33,
∴点A₁₀₀在射线PA₁上.
∵A₁(-2,1),A₄(-1,2),A₇(0,3),…,
∴每循环1次,横坐标加1,纵坐标加1.
∵ - 2 + 33 = 31,1 + 33 = 34,
∴A₁₀₀(31,34).故选A.

4 [2024 黑龙江绥化质检] 如图,在直角坐标系中,正方形 $ ABCD $ 的边 $ BC $ 在 $ x $ 轴上,其中点 $ A $ 的坐标为 $ (1,2) $,正方形 $ EFGH $ 的边 $ FG $ 在 $ x $ 轴上,且 $ H $ 的坐标为 $ (9,4) $,则正方形 $ ABCD $ 与正方形 $ EFGH $ 的位似中心的坐标是______。

答案：
4.(-3,0)或$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$　[解析]如图
(1),连接HD并延长交x轴于点P,则点P为位似中心.
∵四边形ABCD为正方形,点A的坐标为(1,2),
∴点D的坐标为(3,2).
∵DC//HG,
∴易证△PCD∽△PGH,
∴$\frac{PC}{PG}$=$\frac{CD}{HG}$,即$\frac{OP+3}{OP+9}$=$\frac{2}{4}$,解得OP=3,
∴正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是(-3,0).
　　　　　　如图
(2),连接CE,DF交于点P',则点P'为位似中心.由题意得C(3,0),E(5,4),D(3,2),F(5,0),则易求出DF所在直线表达式为y = - x + 5,CE所在直线表达式为y = 2x - 6.联立两个表达式得$\begin{cases}y=-x + 5\\y = 2x - 6\end{cases}$,解得$\begin{cases}x=\frac{11}{3}\\y=\frac{4}{3}\end{cases}$,
∴DF,CE的交点P'的坐标为$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$,
∴正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$.故答案为(-3,0)或$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$.
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　

5 [2025 山东潍坊期末] 如图所示,在平面直角坐标系中,有两点 $ A(4,2),B(3,0) $,以原点为位似中心,$ A'B' $ 与 $ AB $ 的相似比为 $ \frac{1}{2} $,得到线段 $ A'B' $。正确的画法是( )

A.
B.
C.
D.

答案：
5.D　[解析]画出图形,如图所示,故选D.
　　　　　　　　　　　

6 如图,在带有网格的平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为一个单位长度,图中给出了三角形 $ ABC $(点 $ A,B,C $ 均在格点上)。
(1)作出 $ \triangle ABC $ 关于 $ x $ 轴对称的 $ \triangle A'B'C' $；
(2)以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出 $ \triangle A'B'C' $ 的位似图形 $ \triangle A''B''C'' $,使 $ \triangle A'B'C' $ 与 $ \triangle A''B''C'' $ 的相似比为 $ 1:2 $；
(3)若 $ \triangle ABC $ 的面积为 3.5,求出 $ \triangle A''B''C'' $ 的面积。

答案：
6.[解]
(1)如图所示,△A'B'C'即为所求.
(2)如图所示,△A''B''C''即为所求.
(3)由
(1)知,△ABC≌△A'B'C',
∴$S_{\triangle A'B'C'}$=$S_{\triangle ABC}$=3.5.
由
(2)知,△A'B'C'∽△A''B''C'',且相似比为1:2=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{S_{\triangle A'B'C'}}{S_{\triangle A''B''C''}}$=$(\frac{1}{2})^2$=$\frac{1}{4}$.又
∵$S_{\triangle A'B'C'}$=3.5,
∴$S_{\triangle A''B''C''}$=4$S_{\triangle A'B'C'}$=4×3.5=14.