《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 若$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$,$BC = 6$,$EF = 4$,则$\frac{AC}{DF} = $( )

A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{9}{4}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： D 【解析】
∵△ABC∽△DEF，
∴$\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$。
∵BC=6，EF=4，
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$。故选D。

2 [2025北京通州区质检]如图,$\triangle ABC \backsim \triangle AED$,$\angle ADE = 80^{\circ}$,$\angle A = 60^{\circ}$,则$\angle C = $( )

A.$40^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$80^{\circ}$
D.$100^{\circ}$

答案： C 【解析】
∵△ABC∽△AED，
∴∠C=∠ADE=80°。故选C。

3 [2025山东济南期末]如图,已知$\triangle ABC \backsim \triangle ADB$,点$D是AC$的中点,$CD = 2$,则$AB$的长为______.

答案： $2\sqrt{2}$ 【解析】
∵点D是AC的中点，CD=2，
∴AD=CD=2，AC=4。
∵△ABC∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$，
∴$AB^2=AD\cdot AC=2×4=8$。
∵AB＞0，
∴$AB=2\sqrt{2}$。故答案为$2\sqrt{2}$。

4 [2025上海虹口区质检]在下列四个图形中,已知$\angle 1 = \angle 2$,则四个图形中不一定有相似三角形的是( )

答案： D 【解析】易知AB=2,CD=3,AD=5,AB//CD,
∴∠A=∠D,∠B=∠C.在△AOB和△DOC　中，
∵　∠A=∠D,∠B=∠C,
∴△AOB∽△DOC,
∴$\frac{AO}{DO}=\frac{AB}{DC}$,即$\frac{AO}{5−AO}=\frac{2}{3}$,解得AO=2.故选A.

5 如图,点$A$,$B$,$C$,$D$在网格中小正方形的顶点处,$AD与BC相交于点O$,小正方形的边长为1,则$AO$的长等于( )


A.2
B.$\frac{7}{3}$
C.$\frac{6\sqrt{2}}{5}$
D.$\frac{9\sqrt{2}}{5}$

答案： A 【解析】易知AB=2，CD=3，AD=5，AB//CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C。在△AOB和△DOC中，
∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△AOB∽△DOC，
∴$\frac{AO}{DO}=\frac{AB}{DC}$，即$\frac{AO}{5 - AO}=\frac{2}{3}$，解得AO=2。故选A。

6 如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E分别是AB$,$AC$上的点,$\angle AED = \angle ABC$,$\angle BAC的平分线AF交DE于点G$,交$BC于点F$.
(1)试写出图中所有的相似三角形,并说明理由.
(2)若$\frac{AG}{GF} = \frac{3}{2}$,求$\frac{DE}{BC}$的值.

答案： 【解】
(1)△ABC∽△AED，△AEG∽△ABF，△ADG∽△ACF。理由如下：
∵∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，
∴△ABC∽△AED，
∴∠ADE=∠ACB。
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=∠CAF。
∵∠AED=∠ABC，∠EAG=∠BAF，
∴△AEG∽△ABF。
∵∠ADG=∠ACF，∠DAG=∠CAF，
∴△ADG∽△ACF。
(2)
∵$\frac{AG}{GF}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{3}{5}$。
∵△ABC∽△AED，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$。
∵△ADG∽△ACF，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AG}{AF}=\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{3}{5}$。

7 在$\triangle ABC$中,$AB = 6$,$BC = 5$,$AC = 4$,$D是线段AB$上一点,且$DB = 4$,过点$D作DE与线段AC相交于点E$,使以$A$,$D$,$E为顶点的三角形与\triangle ABC$相似,求$DE$的长. 请根据下列两位同学的对话回答问题：
A：如图,过点$D作DE // BC$,交$AC于点E$,则$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$,$\therefore \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{DB}$,$\therefore DE = \frac{AD}{DB} \cdot BC = \frac{AB - DB}{DB} \cdot BC = \frac{5}{2}$.
B：这个解答中有两个错误,其中一个是比例式写错了!
(1)写出正确的比例式及后续解答；
(2)指出另一个错误,并给予正确解答.

答案：
【解】
(1)正确的比例式为$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
∴$DE=\frac{AD\cdot BC}{AB}=\frac{(AB - DB)\cdot BC}{AB}=\frac{5}{3}$。
(2)另一个错误为没有进行分类讨论。如图，过点D作∠ADE=∠ACB，则△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}$，
∴$DE=\frac{5}{2}$。综上所述，DE的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$。