《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 [2025湖南娄底质检,中]关于x的方程$x^{2}-2mx+m^{2}= 4的两个根x_{1},x_{2}满足x_{1}= 2x_{2}+3$,且$x_{1}＞x_{2}$,则m的值为 ( )

A.-3
B.1
C.3
D.9

答案： C

2 [中]《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如$x(x+6)= 16$的方程的正数解,方法:如图,将四个长为$x+6$,宽为x的长方形纸片(面积为16)拼成一个大正方形,于是大正方形的面积为$16×4+36= 100$,边长为10,故得$x(x+6)= 16的正数解为x= \frac {10-6}{2}= 2$.小明用此方法解关于x的方程$x^{2}+mx-n= 0$时,构造出同样的图形,已知大正方形的面积为14,小正方形的面积为4,则 ( )

A.$m= 2,n= 3$

B.$m= \frac {\sqrt {14}}{2},n= 2$
C.$m= \frac {5}{2},n= 2$
D.$m= 2,n= \frac {5}{2}$

答案： D

3 [2024浙江湖州模拟,中]对于任意实数m,n,规定$f(m,n)= m^{2}-2mn+2n$,如$f(3,4)= 3^{2}-2×3×4+2×4= -7$,若$f(x,2)= 9$,则x的值是____.

答案： -1或5

4 [2025吉林白城质检,中]【阅读与理解】将$x^{2}+2x-35$分解因式,我们可以按下面的方法解答:
①竖分二次项与常数项:$x^{2}= x\cdot x,-35= (-5)×(+7)$.
$x$ $+7$
$x$ $-5$
②交叉相乘,验中项(交叉相乘后的结果相加,其结果需等于多项式中的一次项):
$x\overset{+7= 7x}{× -5= -5x}$,$7x+(-5x)= 2x$.
③横向写出两因式:$x^{2}+2x-35= (x+7)(x-5)$.
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法.
根据乘法原理:若$ab= 0$,则$a= 0或b= 0$,方程$x^{2}+2x-35= 0$可以这样求解:方程因式分解得$(x+7)(x-5)= 0$,则$x+7= 0或x-5= 0$,解得$x_{1}= -7,x_{2}= 5$.
【解决问题】
(1) 二次项系数为1 试用上述方法和原理解下列方程:
①$x^{2}-10x+21= 0$;②$x^{2}+5x+4= 0$;③$x^{2}-6x-7= 0$.
(2) 二次项系数不为1 直接写出方程$2024x^{2}+2019x-5= 0$的解.

答案：
(1)①方程因式分解，得(x - 7)(x - 3)=0，
∴x - 7=0或x - 3=0，
∴x₁=7，x₂=3. ②方程因式分解，得(x + 1)(x + 4)=0，
∴x + 1=0或x + 4=0，
∴x₁=-1，x₂=-4. ③方程因式分解，得(x + 1)(x - 7)=0，
∴x + 1=0或x - 7=0，
∴x₁=-1，x₂=7.
(2)x₁=$\frac{5}{2024}$，x₂=-1. 方程因式分解，得(2024x - 5)(x + 1)=0，
∴2024x - 5=0或x + 1=0，
∴x₁=$\frac{5}{2024}$，x₂=-1.

5 核心素养运算能力[较难]阅读下面的例题,解决问题.
例:解方程$x^{2}-|x|-2= 0$.
解:①当$x≥0$时,原方程化为$x^{2}-x-2= 0$,解得$x= 2或x= -1$(不合题意,舍去);
②当$x＜0$时,原方程化为$x^{2}+x-2= 0$,解得$x= -2或x= 1$(不合题意,舍去).
∴ 原方程的根是$x_{1}= 2,x_{2}= -2$.
请参照例题解方程:$x^{2}-|x-1|-1= 0$.

答案： 当x - 1≥0，即x≥1时，原方程化为x²-(x - 1)-1=0，整理得x² - x=0，x(x - 1)=0，解得x=0或x=1，
∵x≥1，
∴x=1；当x - 1＜0，即x＜1时，原方程化为x²-(1 - x)-1=0，整理得x² + x - 2=0，(x + 2)(x - 1)=0，解得x=-2或x=1，
∵x＜1，
∴x=-2. 综上，原方程的根是x₁=1，x₂=-2.