《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 [2024 云南中考]如图,AB 与 CD 交于点 O,且 AC // BD。若 $\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$,则 $\frac{AC}{BD} = $ ____。

答案： $\frac{1}{2}$

2 两个相似三角形对应角平分线的比为 $2:3$,周长差是 25,求较大三角形的周长。

答案： 【解】$\because$ 两个相似三角形对应角平分线的比为$2:3$，$\therefore$ 这两个相似三角形的相似比为$2:3$，$\therefore$ 这两个相似三角形的周长比为$2:3$。设较大三角形的周长为$3x$，则较小三角形的周长为$2x$。由题意，得$3x - 2x = 25$，解得$x = 25$，则$3x = 75$。答：较大三角形的周长为75。

3 [2024 重庆中考 A 卷]若两个相似三角形的相似比是 $1:3$,则这两个相似三角形的面积比是( )

A.$1:3$
B.$1:4$
C.$1:6$
D.$1:9$

答案： D

4 [2024 福建三明调研]如图,$\triangle ABC \backsim \triangle ADE$,B,C 分别在 AD,AE 上,$S_{\triangle ABC}:S_{四边形 BDEC} = 1:3$,$BC = \sqrt{2}$,则 DE 的长为( )

A.$\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$

答案： B

5 [2024 江苏苏州调研]如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AC ＞ AB$,点 D 在 BC 上,且 $BD = BA$,$\angle ABC$ 的平分线 BE 交 AD 于点 E,点 F 是 AC 的中点,连接 EF。若四边形 DCFE 和 $\triangle BDE$ 的面积都为 3,则 $\triangle ABC$ 的面积为 ____。

答案： 10

6 [2024 湖北鄂州质检]如图,某社区拟筹资金 2000 元,计划在一块上底、下底分别为 10 m,20 m 的梯形空地 ABCD 上种植花木,AC,BD 交于点 M。计划在 $\triangle AMD$ 和 $\triangle BMC$ 区域种植单价为 10 元/$m^2$ 的太阳花。
(1)写出 $\triangle ABM$ 与 $\triangle DMC$ 的面积的大小关系,并说明理由。
(2)当 $\triangle AMD$ 种满花后,已知花了 500 元钱,若继续在 $\triangle BMC$ 上种植同样的太阳花,资金是否够用？请说明理由。

答案： 【解】
(1)$S_{\triangle AMB}=S_{\triangle DMC}$。理由：$\because$ 四边形ABCD是梯形，$\therefore AD// BC$，$\therefore S_{\triangle ABD}=S_{\triangle DCA}$，$\therefore S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AMD}=S_{\triangle DCA}-S_{\triangle AMD}$，$\therefore S_{\triangle AMB}=S_{\triangle DMC}$。
(2)不够用。理由：$\because$ 四边形ABCD是梯形，$\therefore AD// BC$，$\therefore \angle MAD=\angle MCB$，$\angle MDA=\angle MBC$，$\therefore \triangle AMD\backsim \triangle CMB$，$\therefore S_{\triangle AMD}:S_{\triangle BMC}=1:4$，$\therefore S_{\triangle BMC}=4S_{\triangle AMD}$。$\because$ 当$\triangle AMD$种满花后，花费500元，且在$\triangle AMD$和$\triangle BMC$种植单价为10元/$m^{2}$的太阳花，$\therefore S_{\triangle AMD}=500÷ 10 = 50(m^{2})$。$\because S_{\triangle BMC}=4S_{\triangle AMD}$，$\therefore S_{\triangle BMC}=200m^{2}$，$\therefore$ 总花费为$500 + 200× 10 = 2500$（元）。$\because 2500 ＞ 2000$，$\therefore$ 不够用。

7 两个相似三角形的面积比是 $4:9$,其中一个三角形的周长为 24,则另一个三角形的周长是( )

A.16
B.16 或 28
C.36
D.16 或 36

答案： D

8 [2025 安徽滁州调研]如图,在 $\triangle ABC$ 中,D 是 AC 上一点,$\frac{CB}{CD} = \frac{CA}{CB} = \frac{3}{2}$,$\triangle BCD$ 的周长是 24 cm。
(1)求 $\triangle ABC$ 的周长；
(2)求 $\triangle BCD$ 与 $\triangle ABD$ 的面积比。

答案： 【解】
(1)$\because \frac{CB}{CD}=\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}$，且$\angle C=\angle C$，$\therefore \triangle BCD\backsim \triangle ACB$，$\therefore \frac{C_{\triangle ABC}}{C_{\triangle BCD}}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{2}$，$\therefore \triangle ABC$的周长为$\frac{3}{2}× 24 = 36(cm)$。
(2)$\because \triangle BCD\backsim \triangle ACB$，$\therefore \frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{2}{3})^{2}=\frac{4}{9}$，$\therefore \triangle BCD$与$\triangle ABD$的面积比为$4:5$。

9 四边形 $ABCD \backsim$ 四边形 $A'B'C'D'$,它们的面积之比为 $16:25$,它们的相似比为 ____,若四边形 $A'B'C'D'$ 的周长为 15 cm,则四边形 ABCD 的周长为 ____。

答案： $\frac{4}{5}$ 12 cm