《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

一、选择题(本大题共2小题,每小题12分,共24分)
1[2025广东深圳质检]2025第14届深圳国际导热散热材料及设备展览会将于2025年6月在深圳国际会展中心举办.若小张随机从A,B,C三个入口中选择一个进入,再随机从D,E两个出口中选择一个离开,则小张从B口进入,D口离开的概率是( )
A. $\frac{1}{6}$ B. $\frac{1}{5}$ C. $\frac{1}{4}$ D. $\frac{1}{3}$
2甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1,2,3,4的四个小球(除标号外无其他差异).从口袋中随机摸出两个小球,记下标号.若两个小球的标号之积为奇数,则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数,则乙获胜.乙获胜的概率是( )
A. $\frac{1}{12}$ B. $\frac{1}{6}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{5}{6}$

答案：
1.A 【解析】画树状图如下：
　　　　　
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中小张从 B 口进入，D 口离开的结果只有1种，
∴小张从 B 口进入，D 口离开的概率是$\frac {1}{6}$. 故选 A.
2.D 【解析】画树状图如下：
　　　　
共有12种等可能的结果，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种，
∴乙获胜的概率为$\frac {10}{12}=\frac {5}{6}$. 故选 D.

二、填空题(本大题共2小题,每小题12分,共24分)
3[2025江苏南京期末]在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球,这些球除颜色外都相同.从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验.然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过程.以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
|摸球试验次数|100|1000|5000|10000|50000|100000|
|摸出白球的次数|55|618|3032|5957|30104|59995|
|摸出白球的频率|0.550|0.618|0.606|0.596|0.602|0.600|
根据试验所得数据,估计白球有______个.
4一只不透明的袋子中装有1个黄球,现放入若干个红球,它们与黄球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出两个球,使得$P( )摸出一红一黄$)= P( )摸出两红$)$,则放入的红球个数为______.

答案：
3.15 【解析】观察题中表格发现随着摸球试验次数的增多，摸出白球的频率逐渐稳定在0.6附近，故摸出白球的概率估计值为0.6. 设白球有x个，则$\frac {x}{x+10}=0.6$,解得$x=15$,经检验,$x=15$是原方程的根，且符合题意，故答案为15.
4.3 【解析】假设袋中红球个数为1，此时袋中有1个黄球、1个红球，搅匀后从中任意摸出两个球，P(摸出一红一黄)=1，P(摸出两红)=0，不符合题意. 假设袋中的红球个数为2，画树状图如下：
　　　
由图可知，共有6种等可能的结果，其中摸到两个红球的结果有2种，摸出一红一黄的结果有4种，
∴P(摸出一红一黄)$=\frac {4}{6}=\frac {2}{3}$,P(摸出两红)$=\frac {2}{6}=\frac {1}{3}$,不符合题意. 假设袋中的红球个数为3，画树状图如下：

由图可知，共有12种等可能的结果，其中摸到两个红球的结果有6种，摸出一红一黄的结果有6种，
∴P(摸出一红一黄)=P(摸出两红)$=\frac {6}{12}=\frac {1}{2}$,符合题意，
∴放入的红球个数为3，故答案为3.

三、解答题(本大题共2小题,共52分)
5[2024江苏南京秦淮区调研]将A、B、C三个完全一样的不透明杯子依次排成一排,倒扣在水平桌面上,其中一个杯子内有一枚硬币.
(1)若同时随机翻开两个杯子,请用画树状图或列表的方法求出现硬币的概率；
(2)若这枚硬币在A杯内,现从三个杯子中随机选择两个交换位置(硬币随A杯一起移动),则经过两次交换后,求硬币恰好在中间位置的杯子内的概率.

答案：
【解】
(1)假设硬币在 A 杯内，根据题意画树状图如下：
　　　　
共有6种等可能的情况，其中出现硬币的情况有4种，则出现硬币的概率是$\frac {4}{6}=\frac {2}{3}.$
(2)根据题意得，第一次交换后的情况有BAC,CBA,ACB；把 BAC 再交换一次的情况有 ABC,CAB,BCA，把 CBA 再交换一次的情况有 BCA,ABC,CAB，把 ACB 再交换一次的情况有 CAB,BCA,ABC，则共有9种等可能的情况，硬币恰好在中间位置的杯子内的情况有3种，则硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为$\frac {3}{9}=\frac {1}{3}.$

6某校为落实“双减”工作,增强课后服务的吸引力,充分用好课后服务时间,为学有余力的学生拓展学习空间,成立了5个活动小组(每位学生只能参加一个活动小组)：A.音乐；B.体育；C.美术；D.阅读；E.人工智能.为了解学生对以上活动的参与情况,随机抽取部分学生进行了调查统计,并根据统计结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.

根据图中信息,解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数)；
③扇形统计图中圆心角$\alpha =$______度.
(2)若该校有3200名学生,估计该校参加D组(阅读)的学生人数.
(3)刘老师计划从E组(人工智能)的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛,请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率.

答案：
【解】
(1)①此次调查一共随机抽取的学生人数为$50÷25\% =200$. 故答案为 200.
②C 组的人数为$200-30-50-70-20=30.$
补全条形统计图如下：
　　　　
③扇形统计图中圆心角$\alpha =360^{\circ }×\frac {30}{200}=54^{\circ },$故答案为 54.
(2)$3200×\frac {70}{200}=1120.$
答：估计该校参加D组(阅读)的学生人数为1120.
(3)画树状图如下：
　　　
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
∴恰好抽中甲、乙两人的概率为$\frac {2}{12}=\frac {1}{6}.$