《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1[2025辽宁抚顺期末,中]如图,正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM= CN,AN与DM相交于点P.
(1)求证:△ABN≌△DAM;
(2)求∠APM的大小.

答案：
(1)【证明】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，∠DAM=∠ABN=90°。
∵BM=CN，
∴BC - CN=AB - BM，即BN=AM。
在△ABN和△DAM中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AD\\ ∠ABN=∠DAM\\ BN=AM\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△DAM(SAS)。
(2)【解】由
(1)知△ABN≌△DAM，
∴∠MAP=∠ADM，
∴∠MAP + ∠AMP=∠ADM + ∠AMP=180° - ∠DAM=90°，
∴∠APM=180° - (∠MAP + ∠AMP)=90°。

2[2025吉林长春期末,中]如图,在正方形ABCD中,点E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上,且EG⊥FH.试猜想$\frac {EG}{FH}$的值,并证明你的猜想.

答案：
【解】$\frac{EG}{FH}$ = 1，证明：如图，过点A作AM//HF交BC于点M，作AN//EG交CD的延长线于点N，
∴易得AM = HF，AN = EG。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD，∠ABM = ∠BAD = ∠ADN = 90°。
∵EG⊥FH，
∴AM⊥AN，
∴∠NAM = 90°，
∴∠BAM = ∠DAN。
在△ABM和△ADN中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BAM = ∠DAN\\ AB = AD\\ ∠ABM = ∠ADN\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADN(ASA)，
∴AM = AN，即EG = FH，
∴$\frac{EG}{FH}$ = 1。

3[2025浙江宁波期末,中](1)如图(1),在正方形ABCD中,AE,DF相交于点O,且AE⊥DF,则AE和DF的数量关系为____.
(2)如图(2),在正方形ABCD中,E,F,G分别是边AD,BC,CD上的点,BG⊥EF,垂足为H.求证:EF= BG.
(3)如图(3),在正方形ABCD中,E,F,M分别是边AD,BC,AB上的点,AE= 2,BF= 5,BM= 1,将正方形沿EF折叠,点M的对应点恰好与CD边上的点N重合,求CN的长度.

答案：

(1)【解】
∵四边形ABCD为正方形，AE⊥DF，
∴AB = AD，∠DAF = ∠ABE = 90°，∠AOD = 90°，
∴∠DAO + ∠BAE = 90°，∠DAO + ∠ADF = 90°，
∴∠BAE = ∠ADF。
在△ABE和△DAF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BAE = ∠ADF\\ AB = AD\\ ∠ABE = ∠DAF\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF(ASA)，
∴AE = DF。故答案为AE = DF。
(2)【证明】如图
(1)，过点E作EM⊥BC于点M，则四边形ABME为矩形，
∴AB = EM。
在正方形ABCD中，AB = BC，
∴EM = BC。
∵EM⊥BC，
∴∠MEF + ∠EFM = 90°。
∵BG⊥EF，
∴∠CBG + ∠EFM = 90°，
∴∠CBG = ∠MEF。
在△BCG和△EMF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CBG = ∠MEF\\ BC = EM\\ ∠C = ∠EMF = 90^{\circ }\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△EMF(ASA)，
∴BG = EF。

(3)【解】如图
(2)，连接MN。
∵M，N关于EF对称，
∴MN⊥EF。
过点E作EH⊥BC于点H，过点M作MG⊥CD于点G，则易知EH⊥MG。
同
(2)可得△EHF≌△MGN，
∴NG = HF。
∵AE = 2，BF = 5，
∴NG = HF = BF - BH = BF - AE = 5 - 2 = 3。
又
∵GC = MB = 1，
∴NC = NG + CG = 3 + 1 = 4。

4[2025广东珠海期中,中]如图,正方形OPNM和正方形ABCD全等,边长均为3,AC与BD交于点O,正方形OPNM绕点O旋转,OM交AB于点E,OP交BC于F.
(1)在上述旋转过程中,判断OE与OF有怎样的数量关系,并证明;
(2)请直接写出四边形OEBF的面积为____.

答案：
(1)OE = OF，证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA = OB，∠AOB = 90°，
∴∠OAB = ∠OBA = ∠OBF = 45°，∠AOE + ∠BOE = 90°。
∵∠MOP = 90°，
∴∠BOE + ∠BOF = 90°，
∴∠BOF = ∠AOE。
在△AOE和△BOF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠OAE = ∠OBF = 45^{\circ }\\ OA = OB\\ ∠AOE = ∠BOF\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOF(ASA)，
∴OE = OF。
(2)
∵△AOE≌△BOF，
∴$S_{\triangle AOE}=S_{\triangle BOF}$，
∴$S_{\triangle AOE}+S_{\triangle OBE}=S_{\triangle BOF}+S_{\triangle OBE}$，即$S_{\triangle AOB}=S_{四边形OEBF}$。
∵$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{4}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{4}×3^{2}=\frac{9}{4}$，
∴$S_{四边形OEBF}=\frac{9}{4}$。故答案为$\frac{9}{4}$。