《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1[中]如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,$BC= 1$,$CE= 3$,H是AF的中点,那么CH的长是( )

A.$\frac {5}{2}$
B.$\sqrt {5}$
C.$\frac {3\sqrt {2}}{2}$
D.2

答案： B　[解析]如图，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AD=AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°.延长AD交EF于M，连接AC，CF，则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF - AB=3 - 1=2，∠AMF=90°.
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°.
∵H为AF的中点，
∴CH=(1/2)AF.在Rt△AMF中，由勾股定理得AF=√(AM²+FM²)=√(4²+2²)=2√5，
∴CH=√5，故选B.

2[2025北京西城区校级期中,中]如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点,以DE为一边作正方形DEFG.设$DE= d_{1}$,点F,G与点C的距离分别为$d_{2}$,$d_{3}$,则$d_{1}+d_{2}+d_{3}$的最小值为( )

A.$\sqrt {2}$
B.2
C.$2\sqrt {2}$
D.4

答案： C　[解析]如图，连接AE，CF，CG.
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠EDG=90°，EF=DE=DG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE=CG，
∴d₁+d₂+d₃=EF+CF+CG=EF+CF+AE，
∴点A，E，F，C在同一条直线上时，EF+CF+AE最小，即d₁+d₂+d₃最小.连接AC，则d₁+d₂+d₃的最小值为AC的长.在Rt△ABC中，AC=√2AB=2√2，
∴d₁+d₂+d₃的最小值为2√2.故选C.

3[2025重庆沙坪坝区期末,中]如图,在正方形ABCD中,点E,点F分别是对角线BD,AC上的点,连接CE,EF,DF,若$EF// BC$,且$∠CEF= 15^{\circ }$,则$∠EDF$的度数为______.

答案： 30°　[解析]设AC交BD于O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，CD=CB，∠BCD=90°，OB=OD，
∴OC=OD=OB=(1/2)BD，∠DOF=∠COE=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°.
∵EF//BC，
∴∠OEF=∠OBC=∠OCB=∠OFE=45°，
∴OF=OE.
∵∠CEF=15°，
∴∠OCE=∠OFE - ∠CEF=45°-15°=30°.在△DOF和△COE中，{OD=OC，∠DOF=∠COE，OF=OE}，
∴△DOF≌△COE(SAS)，
∴∠ODF=∠OCE=30°，即∠EDF=30°.故答案为30°.

4新考法[2024上海虹口区质检,中]如图,三个边长相同的正方形叠放在一起,$O_{1}$,$O_{2}$是其中两个正方形的中心,阴影部分的面积和是2,则正方形的边长为______.

答案： 2　[解析]连接O₁B，O₁C，如图.
∵∠BO₁F+∠FO₁C=90°，∠FO₁C+∠CO₁G=90°，
∴∠BO₁F=∠CO₁G.
∵四边形ABCD是正方形，
∴易知BO₁=CO₁，∠O₁BF=∠O₁CG=45°.在△O₁BF和△O₁CG中，{∠FO₁B=∠CO₁G，BO₁=CO₁，∠FBO₁=∠GCO₁}，
∴△O₁BF≌△O₁CG(ASA)，
∴S△O₁BF=S△O₁CG，
∴左侧阴影部分的面积是(1/4)S正方形ABCD.同理可得右侧阴影部分的面积也是(1/4)S正方形ABCD，
∴阴影部分的面积和为2×(1/4)S正方形ABCD=(1/2)S正方形ABCD，
∴S正方形ABCD=4=AD²，
∴AD=2，故答案为2.

5[较难]如图,四边形ABCD是正方形,四边形EDFC是菱形,四边形HGNM是矩形,其中点E在边AB上,MN在边EC上,点G是菱形对角线的交点,若$AE= 2$,则$HM= $______.

答案： (4√5)/5　[解析]
∵四边形EDFC是菱形，
∴EF⊥CD，DG=CG，
∴∠DGE=∠CGE=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，
∴四边形ADGE是矩形，
∴DG=AE=2，EG=AD，
∴CG=DG=2，
∴CD=4，
∴AD=CD=EG=4.在Rt△CGE中，由勾股定理得CE=√(CG²+EG²)=√(2²+4²)=2√5.
∵四边形HGNM是矩形，
∴GN⊥CE，HM=GN，
∴S△CGE=(1/2)CG·EG=(1/2)CE·GN，
∴(1/2)×2×4=(1/2)×2√5·GN，
∴GN=(4√5)/5，
∴HM=GN=(4√5)/5，故答案为(4√5)/5.

6教材拓展[2025安徽宿州质检,中]已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC,BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过P点分别作直线AC,BD的垂线PE,PF,垂足分别为E,F.
(1)如图(1),当P点在线段AB上时,$PE+PF$的值是否为定值？如果是,请求出它的值；如果不是,请说明理由.
(2)如图(2),当P点在线段AB的延长线上时,求$PE-PF$的值.

答案：
(1)PE+PF的值是定值.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，AO=OC，BO=OD，
∴∠AOB=90°，AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°.在Rt△AOB中，由勾股定理易得OB=(√2/2)a.
∵PF⊥BD，PE⊥AC，
∴∠PFO=∠PEO=90°，
∴四边形PFOE为矩形，
∴PE=OF.
∵∠PBF=45°，
∴∠PBF=∠BPF，
∴PF=BF，
∴PE+PF=OF+BF=OB=(√2/2)a.
(2)同
(1)可得四边形PFOE为矩形，
∴PE=OF.
∵∠PBF=∠ABO=45°，
∴∠PBF=∠BPF，
∴PF=BF，
∴PE - PF=OF - BF=OB=(√2/2)a.

7核心素养推理能力[2024山东烟台调研,较难]如图,以$\triangle ABC$的各边为边,在边BC的同侧分别作正方形ABDI,正方形BCFE,正方形ACHG,连接AD,DE,EG.
(1)求证：$\triangle BDE\cong \triangle BAC$.
(2)求证：四边形ADEG是平行四边形.
(3)①当$\triangle ABC$满足什么条件时,四边形ADEG是矩形？
②当$\triangle ABC$满足什么条件时,四边形ADEG是正方形？

答案：
(1)【证明】
∵四边形ABDI、四边形BCFE都是正方形，
∴AB=BD，BC=BE，∠EBC=∠DBA=90°，
∴∠ABC=∠EBD.在△BDE和△BAC中，{BD=BA，∠DBE=∠ABC，BE=BC}，
∴△BDE≌△BAC(SAS).
(2)【证明】
∵四边形ACHG是正方形，
∴AC=AG.
∵△BDE≌△BAC，
∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE.
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA=∠BAD=45°.
∵∠EDA=∠BDE - ∠BDA=∠BDE-45°，∠DAG=360°-∠GAC-∠BAC-∠BAD=360°-90°-∠BAC-45°=225°-∠BAC，
∴∠EDA+∠DAG=∠BDE-45°+225°-∠BAC=180°，
∴DE//AG，
∴四边形ADEG是平行四边形.
(3)【解】①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°，则∠BAC=360°-∠BAD-∠DAG-∠GAC=360°-45°-90°-90°=135°，即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形.
②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD.由①知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°.
∵四边形ABDI是正方形，
∴AD=√2AB.又
∵四边形ACHG是正方形，
∴AC=AG，
∴AC=√2AB，
∴当∠BAC=135°且AC=√2AB时，四边形ADEG是正方形.