《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-4x+c= 0的一个根为1$,则另一个根是( )

A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$

答案： C [解析]根据根与系数的关系可得出两根之和为4，设方程的另一个根为m，则1+m=4，
∴m=3.

2 关于$x的方程(x - 1)(x + 2)-p^{2}= 0$($p$为常数)的根的情况,下列结论中正确的是( )

A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根,一个负根
D.无实数根

答案： C [解析]
∵关于x的方程(x−1)(x+2)−p²=0(p为常数)，
∴x²+x−2−p²=0，
∴b²−4ac=1+8+4p²=9+4p²＞0，
∴方程有两个不相等的实数根。根据根与系数的关系，得方程的两个根的积为−2−p²＜0，
∴方程有一个正根，一个负根，故选C.

3 [2025广东揭阳期中]请写出一个满足下列条件的一元二次方程：二次项系数为$1$,且两根之和为正数,两根之积为负数。你所写的一元二次方程是______。

答案： x²−6x−8=0(答案不唯一) [解析]
∵二次项系数为1，且两根之和为正数，两根之积为负数，
∴这个一元二次方程可以是x²−6x−8=0.故答案为x²−6x−8=0(答案不唯一).

4 [2023四川泸州中考]若一个菱形的两条对角线长分别是关于$x的一元二次方程x^{2}-10x + m = 0$的两个实数根,且其面积为$11$,则该菱形的边长为( )

A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{14}$

答案： C [解析]设方程x²−10x+m=0的两根分别为a,b，
∴a+b=10.
∵a,b是一个菱形的两条对角线长，且菱形的面积为11，
∴$\frac{1}{2}$ab=11，即ab=22.
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为$\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{b}{2})^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^{2}-2ab}=\frac{1}{2}\sqrt{10^{2}-2×22}=\sqrt{14}$.故选C.

5 [2025广东深圳校级期中]小亮与小明在解一个一元二次方程时都发生了小错误,小亮在化简过程中写错了常数项,得到方程的两个根是$4和1$；小明在化简过程中写错了一次项的系数,得到方程的两个根是$1和2$。则原来的方程是( )

A.$x^{2}+6x + 5 = 0$
B.$x^{2}-7x + 10 = 0$
C.$x^{2}-5x + 2 = 0$
D.$x^{2}-6x - 10 = 0$

答案： C [解析]设原来的方程为ax²+bx+c=0(a≠0).因为小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是4和1，所以−$\frac{b}{a}$=4+1，则b=−5a.因为小明在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是1和2，所以$\frac{c}{a}$=1×2，则c=2a，所以ax²−5ax+2a=0.因为a≠0，所以方程可整理得x²−5x+2=0.故选C.

6 若$x_{1}$,$x_{2}是方程x^{2}= 2x + 2021$的两个实数根,则代数式$x_{1}(x_{1}^{2}-2x_{1})+2021x_{2}$的值为______。

答案： 4042 [解析]方程整理得x²−2x−2021=0.
∵x₁,x₂是方程x²=2x+2021的两个实数根，
∴x₁+x₂=2，x₁²−2x₁=2021，
∴原式=2021x₁+2021x₂=2021(x₁+x₂)=2021×2=4042.故答案为4042.

7 [2024江苏南京鼓楼区质检]已知$a$,$b是一元二次方程2x^{2}+3x - 4 = 0$的两个根,那么$ab^{2}+a^{2}b$的值是______。

答案： 3 [解析]
∵a,b是一元二次方程2x²+3x−4=0的两个根，
∴a+b=−$\frac{3}{2}$，ab=−2，
∴ab²+a²b=ab(a+b)=−2×(−$\frac{3}{2}$)=3，故答案为3.

8 若实数$a$,$b分别满足a^{2}-4a + 3 = 0$,$b^{2}-4b + 3 = 0$,且$a\neq b$,则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值为______。

答案： $\frac{4}{3}$ [解析]
∵实数a,b分别满足a²−4a+3=0，b²−4b+3=0，且a≠b，
∴a,b可看成方程x²−4x+3=0的两个不相等的实数根，则a+b=4，ab=3，则原式=$\frac{a+b}{ab}=\frac{4}{3}$.

9 [2024黑龙江绥化调研]设$x_{1}与x_{2}为一元二次方程\frac{1}{2}x^{2}+3x + 2 = 0$的两根,则$(x_{1}-x_{2})^{2}$的值为______。

答案： 20 [解析]由题意可知x₁+x₂=−6，x₁x₂=4，
∴(x₁−x₂)²=(x₁+x₂)²−4x₁x₂=(−6)²−4×4=36−16=20，故答案为20.

10 [2024山东德州中考]已知$a和b是方程x^{2}+2024x - 4 = 0$的两个解,则$a^{2}+2023a - b$的值为______。

答案： 2028 [解析]
∵a和b是方程x²+2024x−4=0的两个解，
∴a²+2024a−4=0，① a+b=−2024，② ①−②，得a²+2024a−4−a−b=2024，
∴a²+2023a−4−b=2024，
∴a²+2023a−b=2028.故答案为2028.

11 [2024山西晋中期末]已知$a$,$b$,$m$,$n$为互不相等的实数,且$(a + m)(a + n)= 2$,$(b + m)(b + n)= 2$,则$ab - mn$的值为______。

答案： -2 [解析]
∵(a+m)(a+n)=2，(b+m)(b+n)=2，
∴a²+(m+n)a+mn−2=0，b²+(m+n)b+mn−2=0.
∵a,b,m,n为互不相等的实数，
∴a,b可看做方程x²+(m+n)x+mn−2=0的两实数根，
∴ab=mn−2，
∴ab−mn=−2.故答案为−2.

12 若$x_{1}$,$x_{2}是方程x^{2}-2mx + m^{2}-m - 1 = 0$的两个根,且$x_{1}+x_{2}= 1 - x_{1}x_{2}$,求$m$的值。志明的解题过程如下,请判断他的解题过程是否正确,若不正确,请写出正确的解题过程。
解：由一元二次方程的根与系数的关系,得
$x_{1}+x_{2}= 2m$,$x_{1}x_{2}= m^{2}-m - 1$。
$\because x_{1}+x_{2}= 1 - x_{1}x_{2}$,
$\therefore 2m = 1-(m^{2}-m - 1)$,
$\therefore m^{2}+m - 2 = 0$,
$\therefore (m + 2)(m - 1)= 0$,
$\therefore m= -2或m = 1$。

答案： [解]不正确.求出m的值后他忽略了Δ≥0这一条件.正确解题过程如下:由一元二次方程的根与系数的关系，得x₁+x₂=2m，x₁x₂=m²−m−1.
∵x₁+x₂=1−x₁x₂，
∴2m=1−(m²−m−1)，
∴m²+m−2=0，
∴(m+2)(m−1)=0，
∴m=−2或m=1.又
∵Δ=4m²−4(m²−m−1)≥0，解得m≥−1，
∴m=1.