《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

13 [2023江苏连云港中考]若$W = 5x^{2}-4xy + y^{2}-2y + 8x + 3(x,y$为实数),则$W$的最小值为____.

答案： -2

14 解方程:(1)$3(2x - 1)^{2}-27 = 0$;
(2)$2x^{2}-5x + 1 = 0$.

答案： 【解】
(1)移项得3(2x - 1)²= 27.化简得(2x - 1)²= 9.开平方得2x - 1 = ±3,
∴x₁= 2,x₂= -1.
(2)
∵a = 2,b = -5,c = 1,
∴Δ= (-5)² - 4×2×1 = 17＞0,
∴x = (5±√17)/4,
∴x₁= (5 + √17)/4,x₂= (5 - √17)/4.

15 [2025广东广州质检]已知关于$x的一元二次方程x^{2}+(m + 3)x + m + 1 = 0$.
(1)求证:无论$m$取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)若$x_{1}$,$x_{2}$是原方程的两根,且$(x_{1}-x_{2})^{2}= 8$,求$m$的值.

答案：
(1)【证明】
∵一元二次方程x² + (m + 3)x + m + 1 = 0,
∴Δ= (m + 3)² - 4×(m + 1)×1 = m² + 6m + 9 - 4m - 4 = m² + 2m + 5 = (m + 1)² + 4＞0,故无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根.
(2)【解】
∵x₁,x₂是方程x² + (m + 3)x + m + 1 = 0的两个根,
∴x₁ + x₂= -(m + 3),x₁x₂= m + 1.
∵(x₁ - x₂)²= 8,
∴(x₁ - x₂)²= (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂= 8,
∴[-(m + 3)]² - 4×(m + 1)= 8,
∴m² + 2m - 3 = 0,解得m₁= 1,m₂= -3.故m的值为1或-3.

16 [2024山东淄博中考]“我运动,我健康,我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多,从2021年的$32$万人增加到2023年的$50$万人.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率;
(2)为支持市民的健身运动,市政府决定从$A$公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买不超过$100$套,每套售价$1600$元;若超过$100$套,每增加$10$套,售价每套可降低$40$元.但最低售价不得少于$1000$元.已知市政府向该公司支付货款$24$万元,求购买的这种健身器材的套数.

答案： 【解】
(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x.由题意,得32(1 + x)²= 50,解得x₁= 0.25 = 25%,x₂= -2.25(不符合题意,舍去).答:该市参加健身运动人数的年均增长率为25%.
(2)设购买的这种健身器材的套数为m套.由题意,得m(1600 - ((m - 100)/10)×40)= 240000,整理,得m² - 500m + 60000 = 0,解得m₁= 200,m₂= 300(不符合题意,舍去).答:购买的这种健身器材的套数为200套.

17 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 90^{\circ}$,$AB = 12cm$,$AC = 8cm$,现有动点$P从点B$出发,沿射线$BA$方向运动,动点$Q从点C$出发,沿射线$CA$方向运动,已知点$P的速度是2cm/s$,点$Q的速度是1cm/s$,它们同时出发,设运动时间是$t\ s(t\gt0)$.
(1)当$t = 4$时,求$\triangle APQ$的面积.
(2)经过多少秒,$\triangle APQ的面积是\triangle ABC$面积的一半?

答案： 【解】
(1)
∵点P的速度是2 cm/s,点Q的速度是1 cm/s,
∴当t = 4时,BP = 2t = 8 cm,CQ = t = 4 cm,
∴AP = 4 cm,AQ = 4 cm.又
∵∠A = 90°,
∴S△APQ=(1/2)×4×4 = 8(cm²).
(2)根据题意得(1/2)S△ABC=(1/2)×(1/2)×12×8 = 24(cm²).当0＜t＜6时,如图
(1),S△APQ=(1/2)(12 - 2t)(8 - t)= 24,整理得t² - 14t + 24 = 0,解得t = 12(舍去)或t = 2.
当6＜t＜8时,如图
(2),S△APQ=(1/2)(2t - 12)·(8 - t)= 24,整理得t² - 14t + 72 = 0,无实数解.
当t＞8时,如图
(3),S△APQ=(1/2)(2t - 12)(t - 8)= 24,整理得t² - 14t + 24 = 0,解得t = 12或t = 2(舍去).
综上所述,经过2 s或12 s,△APQ的面积是△ABC面积的一半.