《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 [2025陕西西安质检,中]如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且AD= $\frac{1}{3}$AB,AE= $\frac{1}{3}$AC,CD与BE交于点O,则$S_{△COE}$：$S_{△BOC}$的值为( )

A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： D 【解析】连接DE。
∵ AD = $\frac{1}{3}$AB，AE = $\frac{1}{3}$AC，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。 又
∵ ∠DAE = ∠BAC，
∴ △ADE∽△ABC，
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，∠ADE = ∠ABC，
∴ DE//BC，
∴ ∠OED = ∠OBC，∠ODE = ∠OCB，
∴ △DOE∽△COB，
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3}$，
∴ $S_{\triangle COE}:S_{\triangle BOC}=\frac{1}{3}$。 故选D。

2 [中]已知在△ABC中,∠A= 78°,AB= 4,AC= 6,下列阴影部分的三角形与△ABC不相似的是( )

答案： B 【解析】A选项，由“两角分别相等的两个三角形相似”可证阴影部分的三角形与△ABC相似，故选项A不符合题意；B选项，不能证明阴影部分的三角形与△ABC相似，故选项B符合题意；C选项，由“两角分别相等的两个三角形相似”可证阴影部分的三角形与△ABC相似，故选项C不符合题意；D选项，由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可证阴影部分的三角形与△ABC相似，故选项D不符合题意。 故选B。

3 [2025贵州毕节校级质检,中]如图,已知四边形ABCD是矩形,将矩形沿AC折叠,点B落在点E处,连接DE。若DE：AC= 3：5,则$\frac{AD}{AB}$的值为______。

答案： $\frac{1}{2}$ 【解析】
∵ 将矩形沿AC折叠，点B落在点E处，
∴ ∠BAC = ∠EAC，AE = AB = CD。
∵ AB//CD，
∴ ∠DCA = ∠BAC，
∴ ∠EAC = ∠DCA。 设AE与CD相交于F，则AF = CF，
∴ AE - AF = CD - CF，即EF = DF，
∴ $\frac{EF}{AF}=\frac{DF}{FC}$。 又
∵ ∠AFC = ∠EFD，
∴ △ACF∽△EDF，
∴ $\frac{DF}{FC}=\frac{DE}{AC}=\frac{3}{5}$。 设DF = 3x，FC = 5x，则AF = 5x。 在Rt△ADF中，AD = $\sqrt{AF^2 - DF^2}=4x$。 又
∵ AB = CD = DF + FC = 3x + 5x = 8x，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{4x}{8x}=\frac{1}{2}$。

4 [2025四川成都质检,较难]如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y= $\frac{1}{2}x+2$的图象分别交x轴,y轴于A,B两点,过该函数图象上一点C(4,4)作CD⊥x轴于点D,点E是线段AB上一动点,连接BD,EO,若以B,E,O为顶点的三角形与△BCD相似,则点E的坐标为______。

答案： $\left(-\frac{8}{5},\frac{6}{5}\right)$或(-2,1) 【解析】设E$\left(t,\frac{1}{2}t + 2\right)$。 当y = 0时，$\frac{1}{2}x + 2 = 0$，解得x = -4，
∴ A(-4,0)。 当x = 0时，y = $\frac{1}{2}x + 2 = 2$，
∴ B(0,2)。如图，过点B作BF⊥CD，垂足为F。
∵ C(4,4)，CD⊥x轴，
∴ OD = 4，CD = 4，
∴ 易得BF = 4，CF = 2，
∴ BC = $\sqrt{4^2 + 2^2}=2\sqrt{5}$。
∵ CD//OB，
∴ ∠EBO = ∠BCD。 若以B，E，O为顶点的三角形与△BCD相似，则有以下两种情况：①当$\frac{BE}{CB}=\frac{BO}{CD}$时，△BEO∽△CBD，即$\frac{BE}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{4}$，解得BE = $\sqrt{5}$，
∴ $t^2+\left(\frac{1}{2}t + 2 - 2\right)^2 = 5$，解得$t_1 = 2$(舍去)，$t_2 = -2$，此时E点坐标为(-2,1)。 ②当$\frac{BE}{CD}=\frac{BO}{CB}$时，△BEO∽△CDB，即$\frac{BE}{4}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$，解得BE = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴ $t^2+\left(\frac{1}{2}t + 2 - 2\right)^2=\frac{16}{5}$，解得$t_1=\frac{8}{5}$(舍去)，$t_2=-\frac{8}{5}$，此时E点坐标为$\left(-\frac{8}{5},\frac{6}{5}\right)$。 综上所述，E点坐标为$\left(-\frac{8}{5},\frac{6}{5}\right)$或(-2,1)。 故答案为$\left(-\frac{8}{5},\frac{6}{5}\right)$或(-2,1)。

5 [中]如图,四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为E,点F,M分别是AB,BC的中点,BN平分∠ABE交AM于点N,AB= AC= BD,连接MF,NF。求证：
(1)BN= $\sqrt{2}$MN。
(2)△MFN∽△BDC。

答案： 【证明】
(1)
∵ AB = AC，M是BC的中点，
∴ AM⊥BC，AM平分∠BAC。
∵ BN平分∠ABE，
∴ ∠EBN = ∠ABN。
∵ AC⊥BD，
∴ ∠AEB = 90°，
∴ ∠EAB + ∠EBA = 90°，
∴ ∠MNB = ∠NAB + ∠ABN = $\frac{1}{2}$(∠BAE + ∠ABE) = 45°，
∴ △BMN是等腰直角三角形，
∴ BN = $\sqrt{2}$MN。
(2)
∵ 点F，M分别是AB，BC的中点，
∴ FM//AC，FM = $\frac{1}{2}$AC。
∵ AC = BD，
∴ FM = $\frac{1}{2}$BD，即$\frac{FM}{BD}=\frac{1}{2}$。
∵ △BMN是等腰直角三角形，
∴ NM = BM = $\frac{1}{2}$BC，即$\frac{NM}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{FM}{BD}=\frac{NM}{BC}$。
∵ AM⊥BC，
∴ ∠NMF + ∠FMB = 90°。
∵ FM//AC，
∴ ∠ACB = ∠FMB。
∵ ∠CEB = 90°，
∴ ∠ACB + ∠CBD = 90°，
∴ ∠CBD + ∠FMB = 90°，
∴ ∠NMF = ∠CBD，
∴ △MFN∽△BDC。

6 核心素养推理能力[2024江西宜春期末,较难]
(1)如图(1),△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD,CE。求证：BD= CE。
(2)如图(2),△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC= ∠ADE= 90°。连接BD,CE。请直接写出$\frac{BD}{CE}$的值。
(3)如图(3),△ABC和△ADE都是直角三角形,∠ABC= ∠ADE= 90°,且$\frac{AB}{BC}= \frac{AD}{DE}= \frac{3}{4}$。连接BD,CE。求$\frac{BD}{CE}$的值。

答案： 6.
(1)【证明】
∵ △ABC和△ADE都是等边三角形，
∴ AD = AE，AB = AC，∠DAE = ∠BAC = 60°，
∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，
∴ ∠BAD = ∠CAE，
∴ △BAD≌△CAE(SAS)，
∴ BD = CE。
【解】
(2)$\frac{BD}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵ △ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ 易知$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，∠DAE = ∠BAC = 45°，
∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，
∴ ∠BAD = ∠CAE，
∴ △BAD∽△CAE，
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(3)
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}=\frac{3}{4}$，∠ABC = ∠ADE = 90°，
∴ △ABC∽△ADE，
∴ ∠BAC = ∠DAE，易知$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{5}$，
∴ ∠CAE = ∠BAD，
∴ △CAE∽△BAD，
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{5}$。