《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 [2024 内蒙古通辽中考]如图,$□ ABCD的对角线AC$,$BD交于点O$,以下条件不能证明$□ ABCD$是菱形的是( )


A.$∠BAC = ∠BCA$
B.$∠ABD = ∠CBD$
C.$OA^{2} + OD^{2} = AD^{2}$
D.$AD^{2} + OA^{2} = OD^{2}$

答案： D 【解析】
∵ ∠BAC = ∠BCA，
∴ AB = BC，
∴ □ABCD 是菱形，故选项 A 不符合题意.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠CBD.
∵ ∠ABD = ∠CBD，
∴ ∠ABD=∠ADB，
∴ AB=AD，
∴ □ABCD 是菱形，故选项 B 不符合题意.
∵ OA²+OD² = AD²，
∴ ∠AOD = 90°，
∴ AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形，故选项 C 不符合题意.
∵ AD²+OA² = OD²，
∴ ∠OAD=90°，
∴ OA⊥AD，不能证得□ABCD 是菱形，故选项 D 符合题意.故选 D.

2 [2024 福建中考]如图,在菱形$ABCD$中,点$E$,$F分别在边BC和CD$上,且$∠AEB = ∠AFD$。求证：$BE = DF$。

答案： 【证明】
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = AD，∠B=∠D.在△ABE 和△ADF 中，{∠B=∠D，∠AEB=∠AFD，AB=AD，
∴ △ABE≌△ADF(AAS)，
∴ BE = DF.

3 [2024 河北中考]在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”。如图,矩形$ABCD$位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是( )


A.点$A$
B.点$B$
C.点$C$
D.点$D$

答案： B 【解析】设 A(a,b),AB=m,AD=n.
∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴ AD = BC = n，AB = CD = m，
∴ D(a,b+n)，B(a+m,b)，C(a+m,b+n).
∵ b/(a+m) ＜ b/a ＜ (b+n)/a，且 b/(a+m) ＜ (b+n)/(a+m)，
∴ 该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点 B.故选 B.

4 [2024 甘肃兰州中考]如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D是BC$的中点,$CE// AD$,$AE⊥AD$,$EF⊥AC$。
(1)求证：四边形$ADCE$是矩形；
(2)若$BC = 4$,$CE = 3$,求$EF$的长。

答案：
(1)【证明】
∵ 在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点，
∴ AD⊥BC，即∠ADC = ∠ADB = 90°.
∵ CE//AD，
∴ ∠ECD = ∠ADB = 90°.
∵ AE⊥AD，
∴ ∠EAD = 90°，
∴ ∠ADC = ∠ECD = ∠EAD=90°，
∴ 四边形 ADCE 是矩形.
(2)【解】
∵ 在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点，BC = 4，
∴ BD = CD = 1/2 BC = 2.由
(1)可知，四边形 ADCE 是矩形，
∴ AE = CD = 2，∠AEC=90°.在 Rt△AEC 中，AE = 2，CE = 3，
∴ 由勾股定理得 AC = √(AE²+CE²) = √13.
∵ EF⊥AC，
∴ S_△AEC = 1/2 AC·EF = 1/2 AE·CE，
∴ EF = (AE·CE)/AC = (2×3)/√13 = 6√13/13.

5 [2024 重庆中考 B 卷]如图,在边长为 4 的正方形$ABCD$中,点$E是BC$上一点,点$F是CD$延长线上一点,连接$AE$,$AF$,$AM平分∠EAF交CD于点M$。若$BE = DF = 1$,则$DM$的长度为( )

A.2
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\frac{12}{5}$

答案： D 【解析】
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = AD，∠ABE = ∠ADF = 90°.在△ABE 和△ADF 中，{∠B=∠D，∠AEB=∠AFD，AB=AD，
∴ △ABE≌△ADF(SAS)，
∴ AE = AF.
∵ AM 平分∠EAF，
∴ ∠EAM = ∠FAM.在△AEM 和△AFM 中，{AE=AF，∠EAM=∠FAM，AM=AM，
∴ △AEM≌△AFM(SAS)，
∴ EM=FM.
∵ 四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，
∴ BC=CD=4，∠BCD=90°，
∴ CE = BC - BE=4-1=3.设 DM = x，则 MC = CD - DM = 4 - x，EM = FM = FD + DM = 1 + x.在 Rt△MCE 中，根据勾股定理，得 EM² = MC² + CE²，即(1 + x)²=(4 - x)² + 3²，解得 x = 12/5.故选 D.

6 新考向开放性试题 [2024 黑龙江龙东地区中考]如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,请添加一个条件____,使得菱形$ABCD$为正方形。

答案： AC = BD(答案不唯一) 【解析】添加 AC = BD.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，AC = BD，
∴ 菱形 ABCD 为正方形.故答案为 AC = BD(答案不唯一).

7 [2024 江苏徐州中考]已知：如图,四边形$ABCD$为正方形,点$E在BD$的延长线上,连接$EA$,$EC$。
(1)求证：$\triangle EAB\cong\triangle ECB$；
(2)若$∠AEC = 45^{\circ}$,求证：$DC = DE$。

答案：
(1)【证明】
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ AB = BC，∠ABE = ∠CBE = 45°.在△EAB 和△ECB 中，{AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，
∴ △EAB≌△ECB(SAS).
(2)【证明】
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ ∠BDC = 1/2 ∠CDA = 45°.
∵ △EAB≌△ECB，∠AEC = 45°，
∴ ∠CED = ∠AED = 1/2 ∠AEC = 22.5°.
∵ ∠BDC = ∠CED + ∠DCE = 45°，
∴ ∠DCE = 45° - 22.5° = 22.5°，
∴ ∠CED = ∠DCE，
∴ DC = DE.