《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 [2025 安徽芜湖质检]甲、乙两名同学正在玩游戏,三个游戏的规则如表所示,游戏过程中应不放回地取球,每个球除颜色外其他完全相同.下列说法正确的是( )
| |游戏 1|游戏 2|游戏 3|
|袋子(不透明)中球的数量和颜色|2 个红球和 2 个白球|2 个红球和 2 个白球|3 个红球和 1 个白球|
|取球规则|取 1 个球|依次取 2 个球|依次取 2 个球|
|获胜规则|取到红球→甲胜取到白球→乙胜|两个球同色→甲胜两个球不同色→乙胜|两个球同色→甲胜两个球不同色→乙胜|

A.甲在游戏 1 中获胜的概率为$\frac {1}{4}$
B.甲在游戏 3 中获胜的概率为$\frac {5}{8}$
C.游戏 2 对甲、乙双方公平
D.乙在游戏 2 中最容易获胜

答案： D 【解析】游戏1:共有4个球,取1个球共有4种等可能的结果,其中取到红球的结果有2种,取到白球的结果有2种,
∴ 甲在游戏1中获胜的概率为$\frac{1}{2}$,乙在游戏1中获胜的概率为$\frac{1}{2}$,故A选项错误;游戏2:用A,B分别表示两个红球,C,D分别表示两个白球,列表如下:
| | A | B | C | D |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
共12种等可能的结果,其中取到的两个球同色的结果有4种,取到的两个球不同色的结果有8种,
∴ 甲获胜的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$,乙获胜的概率为$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$,
∴ 游戏2不公平,故C选项错误;游戏3:用a,b,c表示三个红球,d表示白球,列表如下:
| | a | b | c | d |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| a | | (a,b) | (a,c) | (a,d) |
| b | (b,a) | | (b,c) | (b,d) |
| c | (c,a) | (c,b) | | (c,d) |
| d | (d,a) | (d,b) | (d,c) | |
共12种等可能的结果,其中取到的两个球同色的结果有6种,取到的两个球不同色的结果有6种,
∴ 甲获胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$,乙获胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$,故B选项错误.
∵ $\frac{2}{3}＞\frac{1}{2}$,
∴ 乙在游戏2中最容易获胜,故D选项正确.故选D.

2 [2025 福建福州质检]甲、乙两人玩抽扑克牌游戏,游戏规则是甲先从牌面数字分别为 5,6,7 的三张扑克牌中,随机抽取一张,记下牌面数字,放回搅匀后,乙再随机抽取一张,记下牌面数字.若所抽取的两张扑克牌的牌面数字的积为奇数,则甲获胜；若所抽取的两张扑克牌的牌面数字的积为偶数,则乙获胜. 这个游戏______.(填“公平”或“不公平”)

答案： 不公平 【解析】根据题意，列表如下：
| 积 | 甲 | 5 | 6 | 7 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 乙 | | | | |
| 5 | | 25 | 30 | 35 |
| 6 | | 30 | 36 | 42 |
| 7 | | 35 | 42 | 49 |
由表可知共有9种等可能的结果,其中积为奇数的结果有4种,积为偶数的结果有5种,故甲、乙两人获胜的概率不相等,故游戏不公平.

3 [2023 广东广州中考]甲、乙两位同学相约打乒乓球.
(1)有款式完全相同的 4 个乒乓球拍(分别记为 A,B,C,D),若甲先从中随机选取 1 个,乙再从余下的球拍中随机选取 1 个,求乙选中球拍 C 的概率；
(2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币,如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上,那么甲先发球,否则乙先发球.这个约定是否公平？为什么？

答案：
【解】
(1)画树状图如下:

一共有12种等可能的结果,其中乙选中球拍C有3种可能的结果,
∴ P(乙选中球拍C)=$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.
(2)公平.理由:画树状图如下:

一共有4种等可能的结果,其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果,
∴ P(甲先发球)=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,P(乙先发球)=$\frac{4-2}{4}=\frac{1}{2}$.
∵ P(甲先发球)=P(乙先发球),
∴ 这个约定公平.

4 [2025 福建泉州质检]有甲、乙两个不透明袋子,甲袋装有三个小球,分别标有数字 1,2,4,乙袋装有两个小球,分别标有数字 2,3,这些小球除数字不同外其余都相同.
(1)从甲袋任意摸出一个小球,求恰好摸到数字为 1 的小球的概率；
(2)现制定游戏规则如下：小明先从甲袋摸出一个小球,小亮再从乙袋摸出一个小球,若从甲袋摸出小球的数字小于从乙袋摸出小球的数字,则小明获胜,否则小亮获胜.这个游戏公平吗？说明你的理由.

答案：
【解】
(1)从甲袋任意摸出一个小球,所有可能的结果为1,2,4,共3种等可能的结果,恰好摸到数字为1的小球的结果只有1种,所以P(恰好摸到数字为1的小球)=$\frac{1}{3}$.
(2)这个游戏公平.理由如下:
画树状图如下:

共有6种等可能的结果,其中从甲袋摸出小球的数字小于从乙袋摸出小球的数字的共有3种结果,所以P(小明获胜)=$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$,则P(小亮获胜)=$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$,所以这个游戏公平.

5 [2025 河南安阳校级调研]如图,有四张背面完全相同的纸牌 A、B、C、D,其正面分别画有四个不同的几何图形,将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上.
(1)从四张纸牌中随机摸出一张,摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______.
(2)小明和小亮约定做一个游戏,其规则为先由小明随机摸出一张,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形,则小亮获胜,否则小明获胜.这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图法)说明理由.

答案： 【解】
(1)$\frac{3}{4}$.
(2)游戏不公平.理由如下:由题意,列表如下:
| 小明 | A | B | C | D |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 小亮 | | | | |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
共有12种等可能的结果,摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种,即(A,C),(C,A),
∴ P(摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形)=$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$,
∴ 小亮获胜的概率为$\frac{1}{6}$,
∴ 小明获胜的概率为$\frac{5}{6}$.
∵ $\frac{1}{6}\neq\frac{5}{6}$,
∴ 游戏不公平.