《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 [2025 广东江门质检]若关于 x 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $ 满足 $ a - b + c = 0 $,则方程必有一个根是 ( )

A.$ x = 1 $
B.$ x = -1 $
C.$ x = 0 $
D.$ x = 2 $

答案： B 【解析】当x=-1时,ax²+bx+c=a×(-1)²+bx(-1)+c=a-b+c.
∵关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0满足a-b+c=0,
∴此方程必有一个根为x=-1.故选B.

2 若关于 x 的一元二次方程 $ x^{2}-ax + 6 = 0 $ 的一个根是 2,则 a 的值为 ( )

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： D 【解析】
∵关于x的一元二次方程x²-ax+6=0的一个根是2,
∴2²-2a+6=0,解得a=5.故选D.

3 关于 x 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx = c(ac \neq 0) $ 的一个实数根为 2022,则方程 $ cx^{2}+bx = a $ 一定有实数根 ( )

A.2022
B.$ \frac{1}{2022} $
C.-2022
D.$ -\frac{1}{2022} $

答案： D 【解析】
∵关于x的一元二次方程ax²+bx=c(ac≠0)的一个实数根为2022,
∴2022²a+2022b=c,
∴a+$\frac{b}{2022}$=$\frac{c}{2022^2}$,
∴$\frac{c}{2022^2}$-$\frac{b}{2022}$=a,
∴x=-$\frac{1}{2022}$是方程cx²+bx=a的一个实数根.故选D.

4 [2024 福建厦门思明区期末]若 $ x_{0} $ 是方程 $ ax^{2}+2x + c = 0(a \neq 0) $ 的一个根,设 $ M = 2 - ac $,$ N = (ax_{0}+1)^{2} $,则 M 与 N 的大小关系为 ( )

A.$ M ＞ N $
B.$ M = N $
C.$ M ＜ N $
D.不确定

答案： A 【解析】
∵x₀是方程ax²+2x+c=0(a≠0)的一个根,
∴ax₀²+2x₀+c=0,即ax₀²+2x₀=-c.则N-M=(ax₀+1)²-(2-ac)=a²x₀²+2ax₀+1-2+ac=a(ax₀²+2x₀)+ac-1=-ac+ac-1=-1.
∵-1＜0,
∴M＞N.故选A.

5 已知 $ x = 0 $ 是关于 x 的一元二次方程 $ (m - 1)x^{2}+mx + 4m^{2}-4 = 0 $ 的一个根,则直线 $ y = mx - 2 $ 不经过第______象限。

答案： 一 【解析】
∵x=0是关于x的一元二次方程(m-1)x²+mx+4m²-4=0的一个根,
∴4m²-4=0,解得m=±1.根据题意,得m-1≠0,
∴m≠1,
∴m=-1＜0,
∴直线y=mx-2经过第二、三、四象限,不经过第一象限.故答案为一.

6 [2024 浙江温州鹿城区调研]若关于 x 的一元二次方程 $ x^{2}+ax + b = 0 $ 和 $ x^{2}+bx + a = 0 $ 只有一个公共根,则 $ (a + b)^{200} $ 的值是______。

答案： 1 【解析】设公共根为x₀,则$\begin{cases}x_0^2+ax_0+b=0,①\\x_0^2+bx_0+a=0.②\end{cases}$①-②,得(a-b)(x₀-1)=0.当a=b时,两方程完全一样,不合题意;当x₀=1时,a+b=-1,则(a+b)²⁰⁰¹=1.故答案为1.

7 [2024 山东临沂期末]已知 a 是方程 $ x^{2}-2022x + 1 = 0 $ 的一个根,求 $ a^{2}-2021a+\frac{2022}{a^{2}+1} $ 的值。

答案： 【解】
∵a是关于x的一元二次方程x²-2022x+1=0的一个根,
∴a²-2022a+1=0,a≠0,
∴a²=2022a-1,a²+1=2022a,
∴原式=2022a-1-2021a+$\frac{2022}{2022a}$=a-1+$\frac{1}{a}$=$\frac{a^2+1}{a}$-1=$\frac{2022a}{a}$-1=2021.

8 根据下列表格的对应值：
| x | -1 | 1 | 1.1 | 1.2 |
| $ x^{2}+12x - 15 $ | -26 | -2 | -0.59 | 0.84 |
可判断方程 $ x^{2}+12x - 15 = 0 $ 必有一个解 x 满足 ( )

A.$ -1 ＜ x ＜ 1 $
B.$ 1 ＜ x ＜ 1.1 $
C.$ 1.1 ＜ x ＜ 1.2 $
D.$ -0.59 ＜ x ＜ 0.84 $

答案： C 【解析】
∵x=1.1时,x²+12x-15=-0.59＜0,x=1.2时,x²+12x-15=0.84＞0,
∴x²+12x-15=0时,1.1＜x＜1.2,即方程x²+12x-15=0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2,故选C.

9 [2025 山西吕梁质检]如图是一张长 8 cm、宽 6 cm 的矩形纸板,将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形,可制成一个底面积是 $ 12 cm^{2} $ 的无盖长方体纸盒。小华设剪去的正方形边长为 x cm,列出关于 x 的方程 $ (8 - 2x)(6 - 2x) = 12 $,整理得 $ x^{2}-7x + 9 = 0 $。
他想知道剪去的正方形边长到底是多少,下面是他的探索过程。
第一步：
| x | -1 | 0 | 1 | 2 |
| $ x^{2}-7x + 9 $ | 17 | 9 | | |
因此,______ ＜ x ＜ ______。
第二步：
| x | 1.5 | 1.6 | 1.7 | 1.8 |
| $ x^{2}-7x + 9 $ | 0.75 | 0.36 | -0.01 | -0.36 |
因此,______ ＜ x ＜ ______。
(1) 请你帮助小华完成表格中未完成的部分,并写出 x 的范围；
(2) 通过以上探索,请直接估计出 x 的值。(结果保留一位小数)
]

答案： 【解】
(1)第一步:当x=1时,x²-7x+9=1²-7×1+9=3,当x=2时,x²-7x+9=2²-7×2+9=-1,
∴1＜x＜2.第二步:当x=1.6时,x²-7x+9=0.36,当x=1.7时,x²-7x+9=-0.01,
∴1.6＜x＜1.7.故答案为3,-1,1,2,1.6,1.7.
(2)通过以上探索,x的值约为1.7.