《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 [2024北京昌平区期中,中]如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 6,CA= 4$,点D为AC中点,点E在AB上,当AE为____时,$\triangle ABC$与以点A,D,E为顶点的三角形相似.

答案： 3或$\frac{4}{3}$

2 [2025山东德州质检,中]如图,将$\triangle ABC$的AB边与刻度尺的边缘重合,点A,D,B分别对应刻度尺上的整数刻度.已知$DE// AC,EF// AB,AC= 6$,下列结论不正确的是 ( )

A.$AF= 4$
B.$CF= 2.4$
C.$DE= 3.6$
D.$EF= 4$

答案： A

3 [2024重庆沙坪坝区调研,中]如图,在边长为$\sqrt {3}$的菱形ABCD中,$∠B= 30^{\circ }$,过点A作$AE⊥BC$于点E,现将$\triangle ABE$沿直线AE翻折至$\triangle AFE$的位置,AF与CD交于点G,则CG等于____.

答案： $\sqrt{3}-1$

4 [2025上海宝山区校级期中,中]如图,$\triangle ABC$中,点D,E分别是AB,AC的中点,BE与CD交于点O.若$∠ACO= ∠EBC$,那么$CD:BC$的值是____.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

5 [2024四川成都双流区质检,较难]如图,在$Rt\triangle AOB和Rt\triangle COD$中,$∠AOB= ∠COD= 90^{\circ },∠ABO= ∠CDO$,E为OA的中点,$OA= 4,OB= 6$.将$\triangle COD$绕点O旋转,直线AC,BD交于点F,连接EF,则EF的最小值是____.

答案： $\sqrt{13}-3$

6 [2024陕西汉中质检,较难]如图,已知正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O.将$\triangle OBC$绕点B逆时针旋转得到$\triangle O'BC'$,当$O',C',D$三点共线时,$O'A$的长为____.

答案： $\sqrt{3}-1$或$\sqrt{3}+1$

7 [中]如图,正方形ABCD边长为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,设$BM= x$.
(1)求证:$Rt\triangle ABM\backsim Rt\triangle MCN;$
(2)当M点运动到什么位置时$Rt\triangle ABM\backsim Rt\triangle AMN$?求此时x的值.
]

答案：
(1)[证明]在正方形ABCD中，∠B = ∠C = 90°。
∵AM⊥MN，
∴∠AMN = 90°，
∴∠CMN + ∠AMB = 90°。在Rt△ABM中，∠MAB + ∠AMB = 90°，
∴∠CMN = ∠MAB，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN。
(2)[解]
∵∠B = ∠AMN = 90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有$\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{BM}$。由
(1)知$\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{MC}$，
∴BM = MC，
∴当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，此时x = 2。