《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

10 [2024 辽宁盘锦质检]如图,两张全等的矩形纸片叠放在一起,矩形的长和宽分别是 8 和 6,则重叠部分的四边形周长是____。

答案： 25 【解析】如图，由题意得∠G = 90°，DG = DE = 6，BG//DH，BE//DF，BG = 8，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 平行四边形 ABCD 的面积为 AD·DG = CD·DE，
∴ AD = CD，
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形，
∴ CD = BC = AB = AD.设 CD = BC = x，则 CG = 8 - x.在 Rt△CDG 中，由勾股定理得 6² + (8 - x)² = x²，解得 x = 25/4，
∴ CD = 25/4，
∴ 菱形 ABCD 的周长为 4CD = 25，即重叠部分的四边形周长是 25，故答案为 25.

11 [2024 广东深圳宝安区调研]如图,在矩形$ABCD$中,$BC = 6$,$M为AB$的中点,连接$MD$,$E为MD$中点,连接$BE$,$CE$,若$∠BEC$为直角,则$AB$的长为____。

答案： 4 【解析】如图，连接 AE，过点 E 作 EF⊥AD 于 F，并延长 FE，交 BC 于点 H.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，BC = 6，
∴ ∠BAD = ∠ADC = ∠ABC = 90°，AD = BC = 6，AB = DC，AD//BC，
∴ ∠AFH = ∠BHF = 90°，
∴ 四边形 ABHF 是矩形.
∵ E 为 MD 的中点，
∴ AE = DE，
∴ AF = DF，
∴ BH = CH，EF = 1/2 AM.
∵ ∠BEC = 90°，
∴ EH = 1/2 BC = 3.
∵ M 为 AB 的中点，
∴ AM = 1/2 AB，
∴ EF = 1/4 AB，
∴ EH = 3/4 AB = 3，
∴ AB = 4，故答案为 4.

12 [2024 山东威海文登区期中]如图,平行四边形$ABCD$中,$AD = 9cm$,$CD = 3\sqrt{2}cm$,$∠B = 45^{\circ}$,$AE⊥BC$,点$M$,$N分别以A$,$C$为起点,以$1cm/s的速度沿AD$,$CB$边运动,连接$AN$,$CM$。设点$M$,$N运动的时间为t\ s(0\leq t\leq6)$,作$MP⊥BC于P$,$NQ⊥AD于Q$,当$t = $____时,四边形$MPNQ$为正方形。

答案： 4.5 或 1.5 【解析】如图所示，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD = 3√2 cm，AD = BC = 9 cm.在 Rt△ABE 中，∠AEB = 90°，∠B = 45°，
∴ △ABE 是等腰直角三角形，
∴ AB = √2 AE，
∴ AE = 3 cm.
∵ MP⊥BC，NQ⊥AD，QM//NP，
∴ 四边形 MPNQ 为矩形，
∴ 当 QM = QN 时，四边形 MPNQ 为正方形.由题意得 AM = CN = t cm，且 BE = 3 cm，
∴ 易得 AQ = EN = BC - BE - CN = 9 - 3 - t = (6 - t)cm，
∴ QM = AM - AQ = |t - (6 - t)| = |2t - 6|cm.
∵ QN = AE = 3 cm，
∴ |2t - 6| = 3，解得 t = 4.5 或 t = 1.5.故当 t = 4.5 或 1.5 时，四边形 MPNQ 为正方形.故答案为 4.5 或 1.5.

13 [2025 湖北宜昌期末]如图,已知正方形$OABC的顶点B$,$O在直线y = 4x$上,点$A$在第一象限,若正方形$OABC$的面积是 34,则点$C$的坐标为____。

答案： (-3,5) 【解析】
∵ 正方形 OABC 的面积是 34，
∴ ∠BCO = 90°，OC = BC = √34，
∴ OB = √(OC² + BC²) = √((√34)² + (√34)²) = √(34 + 34) = 2√17.
∵ 点 B 在直线 y = 4x 上，
∴ 设 B(a,4a)(a ＞ 0)，
∴ OB = √(a² + (4a)²) = √17 a = 2√17，
∴ a = 2，
∴ B(2,8).过点 B 作 BM⊥y 轴于点 M，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，延长 EC，交 BM 的延长线于点 D，如图，
∴ 四边形 OEDM 是矩形，
∴ ∠BDC = ∠CEO = 90°，OM = DE，∠OCE + ∠COE = 90°.
∵ ∠BCO = 90°，
∴ ∠BCD + ∠OCE = 90°，
∴ ∠BCD = ∠COE.又
∵ BC = CO，
∴ △DBC≌△ECO(AAS)，
∴ DB = EC，DC = EO.
∵ B(2,8)，
∴ MB = 2，OM = DE = 8.设 OE = DC = x，
∴ DB = OE + MB = x + 2，EC = DE - DC = 8 - x.
∵ DB = EC，
∴ x + 2 = 8 - x，
∴ x = 3，
∴ OE = 3，CE = 5.
∵ 点 C 在第二象限，
∴ C(-3,5).故答案为(-3,5).

14 [2024 黑龙江哈尔滨中考]四边形$ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,$AD// BC$,$OA = OC$,$AB = BC$。
(1)如图(1),求证：四边形$ABCD$是菱形；
(2)如图(2),$AB = AC$,$CH⊥AD于点H$,交$BD于点E$,连接$AE$,点$G在AB$上,连接$EG交AC于点F$,若$∠FEC = 75^{\circ}$,在不添加任何辅助线的情况下,直接写出四条与线段$CE$相等的线段(线段$CE$除外)。

答案：
(1)【证明】
∵ AD//BC，
∴ ∠ADO = ∠CBO.在△ADO 和△CBO 中，{∠ADO=∠CBO，∠AOD=∠COB，OA=OC，
∴ △ADO≌△CBO(AAS)，
∴ OD = OB，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
(2)【解】与线段 CE 相等的线段有 AE，DE，AG，CF.由
(1)知，四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥BD.
∵ AB = AC，
∴ AB = BC = CD = AD = AC，
∴ △ABC 和△ADC 为等边三角形.
∵ CH⊥AD，
∴ AH = DH，即 CH 为 AD 的垂直平分线，
∴ AE = DE.同理可得 CE = AE，
∴ AE = DE = EC.
∵ △ADC 为等边三角形，CH⊥AD，
∴ ∠ACH = 1/2 ∠ACD = 30°.
∵ ∠FEC = 75°，
∴ ∠EFC = 180° - ∠ACH - ∠FEC = 75°，
∴ ∠EFC = ∠FEC，
∴ CF = CE.
∵ △ABC 和△ADC 为等边三角形，
∴ ∠BAC = ∠CAD = 60°.
∵ CE = AE，
∴ ∠EAC = ∠ECA = 30°，
∴ ∠BAE = ∠BAC + ∠CAE = 90°，∠AEC = 180° - ∠EAC - ∠ECA = 120°，
∴ ∠AEG = ∠AEC - ∠FEC = 45°，
∴ ∠AGE = ∠AEG，
∴ AE = AG，
∴ AG = EC.

15 [2025 江西抚州期中]【特例感知】
(1)①在正方形$ABCD$中,设其边长为$a$,则对角线$AC$,$BD和a的数量关系为AC^{2} + BD^{2} = $____；
②在菱形$ABCD$中,设其边长为$a$,则对角线$AC$,$BD和a的数量关系为AC^{2} + BD^{2} = $____；
③在矩形$ABCD$中,设$AB = a$,$BC = b$,则对角线$AC$,$BD和a$,$b的数量关系为AC^{2} + BD^{2} = $____。
【规律探究】(2)如图(1),在$□ ABCD$中,设$AB = a$,$BC = b$,猜想对角线$AC$,$BD和a$,$b的数量关系为AC^{2} + BD^{2} = $____,并证明你的猜想。
【知识应用】(3)如图(2),在四边形$ABCD$中,$AB = 5$,$BC = 9$,$CD = 8$,$AD = 6$,$∠ADC = 90^{\circ}$,点$M为BC$的中点,求$AM$的长。

答案： 【解】
(1)①如图
(1)，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC = BD，AB = AD = BC = CD = a，∠ABC = ∠BCD = 90°，
∴ AC² = AB² + BC² = 2a²，BD² = BC² + CD² = 2a²，
∴ AC² + BD² = 4a².故答案为 4a².
②如图
(2)，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD，OA = OC，OB = OD，AB = AD = BC = CD = a，
∴ ∠AOB = 90°，
∴ OA² + OB² = a²，
∴ (2OA)² + (2OB)² = 4a²，
∴ AC² + BD² = 4a².故答案为 4a².
③如图
(3)，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，AB = CD = a，AD = BC = b，∠ABC = ∠BCD = 90°，
∴ AC² = AB² + BC² = a² + b²，BD² = BC² + CD² = a² + b²，
∴ AC² + BD² = 2a² + 2b².故答案为 2a² + 2b².
(2)猜想：AC² + BD² = 2a² + 2b².证明：如图
(4)，分别过点 A，D 作 AE⊥BC 于 E，DF⊥BC 交 BC 延长线于 F，
∴ ∠AEB = ∠DFC = 90°.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = DC，AB//CD，
∴ ∠ABE = ∠DCF.在△ABE 和△DCF 中，{∠AEB=∠DFC，∠ABE=∠DCF，AB=DC，
∴ △ABE≌△DCF(AAS)，
∴ BE = CF，AE = DF.设 BE = CF = m，AE = DF = h，则 CE = b - m，BF = b + m.在 Rt△AEC 中，AC² = AE² + CE² = h² + (b - m)² = h² + b² - 2bm + m²；在 Rt△BDF 中，BD² = DF² + BF² = h² + (b + m)² = h² + b² + 2bm + m²，
∴ AC² + BD² = 2h² + 2b² + 2m².
∵ 在 Rt△ABE 中，AB² = AE² + BE² = h² + m²，
∴ h² + m² = a²，
∴ AC² + BD² = 2(h² + m²) + 2b² = 2a² + 2b².
(3)如图
(5)，连接 AC，延长 AM 至点 N，使 MN = AM，连接 BN，CN.
∵ 点 M 为 BC 的中点，
∴ BM = MC，
∴ 四边形 ABNC 是平行四边形，
∴ 由
(2)的结论可得 BC² + AN² = 2AB² + 2AC².
∵ ∠D = 90°，CD = 8，AD = 6，
∴ AC = √(AD² + CD²) = √(6² + 8²) = 10.
∵ AB = 5，BC = 9，
∴ 9² + AN² = 2×5² + 2×10²，
∴ AN² = 169，
∴ AN = 13(负值已舍去)，
∴ AM = 1/2 AN = 13/2.