《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1如图,在△ABC中,AB= AC,点D在BC边上,DF//AB,DE//AC,则当∠B= ______°时,四边形AEDF是矩形.

答案： 45

2[2024山东威海文登区期末]如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O的直线EF分别交AB,CD于点E,F,若AB= 6,BC= 8,则图中阴影部分的面积为______.

答案： 12

3[2024湖北武汉调研]两个矩形的位置如图所示,若∠1= α,则∠2= ( )

A.α-90°
B.180°-α
C.α-45°
D.270°-α

答案： B

4[2024广西南宁质检]如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE= DF.
(1)求证:AE= CF;
(2)若AB= 6,∠COD= 60°,求矩形ABCD的面积.

答案：
(1)【证明】
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°.
∵BE=DF,
∴OE=OF.在△AOE和△COF中,$\left\{\begin{array}{l} OA=OC,\\ ∠AOE=∠COF,\\ OE=OF,\end{array}\right. $
∴△AOE≌△COF(SAS),
∴AE=CF.
(2)【解】
∵OA=OC,OB=OD,AC=BD,
∴OA=OB.
∵∠AOB=∠COD=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=AB=6,
∴AC=2OA=12.在Rt△ABC中,BC=$\sqrt{AC^2 - AB^2}$=$6\sqrt{3}$,
∴矩形ABCD的面积为AB·BC=$6×6\sqrt{3}$=$36\sqrt{3}$.

5[2025陕西宝鸡质检]如图,一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OP上,OA= 12m,OB= 5m.若梯子顶端A沿墙下滑a m到A'的位置,则此时梯子的中点M'到墙角O的距离为 ( )

A.5.5m
B.6m
C.6.5m
D.7m

答案： C

6[2025宁夏吴忠校级质检]如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB= 5,AD= 12,则四边形ABOM的周长为 ( )

A.17
B.18
C.19
D.20

答案： D

7[2024江苏扬州质检]如图,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF//BC交BE的延长线于点F.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)证明四边形ADCF是菱形.

答案：
(1)【证明】
∵AF//BC,
∴∠AFE=∠DBE.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE.在△AFE和△DBE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AFE=∠DBE,\\ ∠FEA=∠BED,\\ AE=DE,\end{array}\right. $
∴△AFE≌△DBE(AAS).
(2)【证明】由
(1)知,△AFE≌△DBE,则AF=DB.
∵D是BC的中点,
∴DB=DC,
∴AF=CD.
∵AF//BC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵∠BAC=90°,D是BC的中点,
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$BC,
∴四边形ADCF是菱形.