《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

8 [较难]如图,在$\triangle ABC$中,点D,E分别在边BC,AC上,连接AD,DE,且$∠B= ∠ADE= ∠C$.
(1)求证:$\triangle BDA\backsim \triangle CED;$
(2)若$∠B= 45^{\circ },BC= 2$,当点D在BC上运动(点D不与B,C重合),且$\triangle ADE$是等腰三角形时,求BD的长.
]

答案：
(1)[证明]由题图，得∠ADE + ∠ADB + ∠EDC = 180°。在△ABD中，
∵∠B + ∠ADB + ∠DAB = 180°，∠B = ∠ADE，
∴∠EDC = ∠DAB，
∴△BDA∽△CED。
(2)[解]
∵∠B = ∠ADE = ∠C，∠B = 45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC = 90°。
∵BC = 2，
∴AB = AC = $\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\sqrt{2}$。
①当AD = AE时，∠ADE = ∠AED。
∵∠B = 45°，
∴∠B = ∠ADE = ∠AED = 45°，
∴∠DAE = 90°，
∴∠DAE = ∠BAC = 90°。
∵点D在BC上运动(点D不与B，C重合)，
∴此情况不符合题意。
②当AD = DE时，如图
(1)，∠DAE = ∠DEA。由
(1)易证△BDA≌△CED，
∴AB = DC = $\sqrt{2}$，
∴BD = 2 - $\sqrt{2}$。
③当AE = DE时，如图
(2)，∠ADE = ∠DAE = 45°，
∴△AED是等腰直角三角形。
∵∠B = ∠C = ∠DAE = 45°，
∴∠ADC = 90°，即AD⊥BC，
∴BD = $\frac{1}{2}BC = 1$。
综上所述，BD = 2 - $\sqrt{2}$或1。

9 [中]如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,CD是斜边AB上的高.
(1)求证:$\triangle ACD\backsim \triangle CBD;$
(2)求证:$BC^{2}= BD\cdot AB;$
(3)若$AD= 3,BD= 2$,求CD的长.
]

答案：
(1)[证明]
∵CD⊥AB，
∴∠CDA = ∠CDB = 90°。
∵∠ACB = 90°，
∴∠ACD + ∠BCD = 90°。又
∵∠BCD + ∠B = 90°，
∴∠ACD = ∠B，
∴△ACD∽△CBD。
(2)[证明]
∵∠ACB = ∠CDB = 90°，∠B = ∠B，
∴△ACB∽△CDB，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，即BC² = BD·AB。
(3)[解]
∵△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴CD² = AD·DB。
∵AD = 3，BD = 2，
∴CD² = 6。
∵CD ＞ 0，
∴CD = $\sqrt{6}$。

10 [2025河北保定期中,较难]某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究,下面是他们的探究过程,请你按要求完成相应的证明和计算.
【初步发现】(1)如图(1),在矩形ABCD中,如果DE交AB于点E,CF交AD于点F,且$DE⊥CF$,那么$\frac {DE}{CF}$____$\frac {AD}{CD}$(填“＞”“＜”或“=”);
【深入探究】(2)如图(2),在矩形ABCD中,$MN⊥GH$,MN分别交AD,BC于点M,N,GH分别交AB,CD于点H,G,求证:$\frac {GH}{MN}= \frac {AD}{CD};$
【尝试应用】(3)在(1)的条件下,如图(3),在矩形ABCD中,点H,G分别在边AB,DC上,点M,N分别在边AD,BC上,连接MN,GH,且$MN⊥GH$,若$\frac {GH}{MN}= \frac {7}{5}$,求$\frac {DE}{CF}$的值;
【联系拓展】(4)如图(4),在四边形ABCD中,若$AB= BC= 6,AD= CD= 8,∠BAD= 90^{\circ },DE⊥CF$,直接写出$\frac {DE}{CF}$的值.
]

答案：
(1)[解]
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A = ∠ADC = 90°，
∴∠FCD + ∠DFC = 90°。
∵ED⊥CF，
∴∠ADE + ∠DFC = 90°，
∴∠ADE = ∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$。故答案为=。
(2)[证明]过M作MP⊥BC于P，过H作HQ⊥CD于Q，交MN于O，如图
(1)。易得AD//HQ//BC，HQ = AD，MP = CD，
∴∠HON = ∠MNP。
∵MN⊥GH，MP⊥BC，
∴∠QHG + ∠HON = 90°，∠MNP + ∠NMP = 90°，
∴∠QHG = ∠NMP。又
∵∠HQG = ∠MPN = 90°，
∴△HQG∽△MPN，
∴$\frac{GH}{MN}=\frac{HQ}{MP}=\frac{AD}{CD}$。
(3)[解]由
(1)可知，$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$，由
(2)可知，$\frac{HG}{MN}=\frac{AD}{CD}$，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{GH}{MN}=\frac{7}{5}$。
(4)$\frac{DE}{CF}=\frac{25}{24}$。