《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 [2024河南驻马店校级期中]下列方程:①$2x^{2}-\frac {1}{3x}= 1$,②$2x^{2}-5xy+y^{2}= 0$,③$7x^{2}+1= 0$,④$ax^{2}+bx+c= 0$,⑤$x^{2}+2x= x^{2}-1$,其中是一元二次方程的有( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： A 【解析】$2x^{2}-\frac {1}{3x}=1$不是整式方程,故①不是一元二次方程;$2x^{2}-5xy+y^{2}=0$中含有两个未知数,故②不是一元二次方程;$7x^{2}+1=0$符合一元二次方程的定义,故③是一元二次方程;$ax^{2}+bx+c=0$,当$a=0$时,方程化为$bx+c=0$,不含二次项,故④不是一元二次方程;将$x^{2}+2x=x^{2}-1$整理,得$2x=-1$,不含二次项,故⑤不是一元二次方程.综上,只有③是一元二次方程.故选 A.

2 关于x的方程$(a^{2}-9)x^{2}-(a+3)x-1= 0$,当a____时,是一元二次方程;当a____时,是一元一次方程.

答案： ≠±3 = 3 【解析】关于x的方程$(a^{2}-9)\cdot x^{2}-(a+3)x-1=0$,当$a^{2}-9≠0$,即$a≠\pm 3$时,是一元二次方程;当$\left\{\begin{array}{l} a^{2}-9=0,\\ a+3≠0,\end{array}\right. $即$a=3$时,是一元一次方程.故答案为≠±3,=3.

3 [2025江西南昌期中]将关于x的一元二次方程$x^{2}+x= 2(x-3)$化成一般形式后,若其二次项系数为1,则一次项系数和常数项分别为( )

A.1,-4
B.-1,6
C.-1,-6
D.1,-6

答案： B 【解析】$x^{2}+x=2(x-3)$,整理得$x^{2}-x+6=0$,
∴一次项系数和常数项分别为-1,6.故选 B.

4 [2025浙江温州校级期中]有一个一元二次方程,未知数为y,二次项系数为-1,一次项系数为3,常数项为-6,请你写出它的一般形式:____.

答案： $-y^{2}+3y-6=0$【解析】根据题意,得未知数为y,二次项系数是-1,一次项系数是3,常数项是-6的一元二次方程的一般形式为$-y^{2}+3y-6=0.$

5 [2025广东广州期中]如图,把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积扩大了一倍.若设小圆形场地的半径为xm,那么列方程正确的是( )


A.$2πx= π(x+5)$
B.$x= 2(x+5)$
C.$2πx^{2}= π(x+5)^{2}$
D.$x^{2}= 2(x+5)^{2}$

答案： C 【解析】已知小圆形场地的半径为x m,则大圆形场地的半径为$(x+5)m$,根据题意可得$π(x+5)^{2}=2πx^{2}$.故选 C.

6 [2025江苏镇江质检]根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化为一元二次方程的一般形式.
(1)有一个三位数,它的个位数字比十位数字大3,十位数字比百位数字小2,三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20,求这个三位数.
(2)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm,面积为$24cm^{2}$,求它的两条直角边的长.

答案： 【解】
(1)设十位数字为x,则个位数字为$x+3$,百位数字为$x+2$.根据题意得$[100(x+2)+10x+(x+3)]-9[(x+3)^{2}+x^{2}+(x+2)^{2}]=20$,化为一般形式为$9x^{2}-7x-22=0.$
(2)设其中一条直角边的长为x cm,则另一条直角边的长为$(14-x)cm$.根据题意,得$\frac {1}{2}x(14-x)=24$,整理,得$x^{2}-14x+48=0.$

7 关于x的一元二次方程$x^{2}+(2a-1)x+5-a= ax+1$的一次项系数为4,求常数项的值.下面是王源同学的求解过程,请判断是否正确.若错误,请给出正确解题过程.
王源同学的求解过程如下:
由题意得$2a-1= 4$,所以$a= \frac {5}{2}$,
所以常数项为$5-\frac {5}{2}= \frac {5}{2}$.

答案： 【解】不正确.正确解题过程如下:一元二次方程整理后得$x^{2}+(a-1)x+4-a=0$.由题意得$a-1=4$,解得$a=5$,所以$4-a=-1$,所以常数项是-1.