《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 [2023江苏镇江中考]若$x = 1是关于x的一元二次方程x^{2}+mx - 6 = 0$的一个根,则$m = $____.

答案： 5

2 [2023山东枣庄中考]若$x = 3是关于x的方程ax^{2}-bx = 6$的解,则$2023 - 6a + 2b$的值为____.

答案： 2019

3 [2024河北中考]淇淇在计算正数$a$的平方时,误算成$a与2$的积,求得的答案比正确答案小$1$,则$a = $( )

A.$1$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$1或\sqrt{2}+1$

答案： C

4 新考法[2024青海中考](1)解一元二次方程:$x^{2}-4x + 3 = 0$;
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.

答案： 【解】
(1)x²-4x + 3 = 0,
∴(x - 1)(x - 3)= 0,
∴x - 1 = 0或x - 3 = 0,
∴x₁= 1,x₂= 3.
(2)当3是直角三角形的斜边长时,第三边的长为√(3² - 1²)= 2√2;当3是直角三角形的直角边长时,第三边的长为√(1² + 3²)= √10,
∴第三边的长为2√2或√10.

5 [2024山东潍坊中考]已知关于$x的一元二次方程x^{2}-mx - n^{2}+mn + 1 = 0$,其中$m$,$n满足m - 2n = 3$,关于该方程根的情况,下列判断正确的是( )

A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

答案： C

6 [2024黑龙江龙东地区中考]关于$x的一元二次方程(m - 2)x^{2}+4x + 2 = 0$有两个实数根,则$m$的取值范围是( )

A.$m\leqslant4$
B.$m\geqslant4$
C.$m\geqslant - 4且m\neq2$
D.$m\leqslant4且m\neq2$

答案： D

7 [2024四川泸州中考]已知$x_{1}$,$x_{2}是一元二次方程x^{2}-3x - 5 = 0$的两个实数根,则$(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}$的值是____.

答案： 14

8 [2024四川遂宁中考]已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$.
(1)求证:无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1}$,$x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 9$,求$m$的值.

答案：
(1)【证明】x² - (m + 2)x + m - 1 = 0中,a = 1,b = -(m + 2),c = m - 1,
∴Δ = b² - 4ac = [-(m + 2)]² - 4×1×(m - 1)= m² + 4m + 4 - 4m + 4 = m² + 8.
∵m²≥0,
∴Δ＞0,
∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)【解】方程x² - (m + 2)x + m - 1 = 0的两个实数根为x₁,x₂,则x₁ + x₂ = m + 2,x₁x₂ = m - 1.
∵x₁² + x₂² - x₁x₂ = 9,即(x₁ + x₂)² - 3x₁x₂ = 9,
∴(m + 2)² - 3(m - 1)= 9,整理得m² + m - 2 = 0,
∴(m + 2)(m - 1)= 0,解得m₁= -2,m₂= 1,
∴m的值为-2或1.

9 [2024四川内江中考]某市2021年底森林覆盖率为$64\%$,为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力发展植树造林活动,2023年底森林覆盖率已达到$69\%$.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为$x$,则符合题意得方程是( )

A.$0.64(1 + x)= 0.69$
B.$0.64(1 + x)^{2}= 0.69$
C.$0.64(1 + 2x)= 0.69$
D.$0.64(1 + 2x)^{2}= 0.69$

答案： B

10 [2023山东东营中考]如图,老李想用长为$70m$的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈$ABCD$,并在边$BC上留一个2m$宽的门(建在$EF$处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为$640m^{2}$的羊圈?
(2)羊圈的面积能达到$650m^{2}$吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.

答案： 【解】设矩形ABCD的边AB = x m,则边BC = 70 - 2x + 2 = (72 - 2x)m.
(1)根据题意,得x(72 - 2x)= 640,化简,得x² - 36x + 320 = 0,解得x₁= 16,x₂= 20.当x = 16时,72 - 2x = 72 - 32 = 40(m).当x = 20时,72 - 2x = 72 - 40 = 32(m).答:当羊圈的长为40 m,宽为16 m或长为32 m,宽为20 m时,能围成一个面积为640 m²的羊圈.
(2)不能,理由:由题意,得x(72 - 2x)= 650,化简,得x² - 36x + 325 = 0,Δ= (-36)² - 4×325 = -4＜0,
∴一元二次方程没有实数根.
∴羊圈的面积不能达到650 m².