《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 [2025 河南周口质检]方程 $ x^{2}= 2 $ 的根是( )

A.$ x_{1}= x_{2}= \sqrt{2} $
B.$ x_{1}= \sqrt{2},x_{2}= -\sqrt{2} $
C.$ x= \sqrt{2} $
D.$ x= -\sqrt{2} $

答案： B 【解析】
∵x²=2，
∴x=±√2，
∴x₁=√2，x₂=-√2. 故选 B.

2 [2025 江苏南京期中]若关于 $ x $ 的方程 $ (x - 4)^{2}= m + 1 $ 有实数根,则 $ m $ 的取值范围是( )

A.$ m \geq 0 $
B.$ m \geq -1 $
C.$ m ＞ -1 $
D.$ m ＞ 1 $

答案： B 【解析】
∵关于x的方程(x-4)²=m+1有实数根，
∴m+1≥0，解得m≥-1. 故选 B.

3 [2024 贵州遵义期中]已知三角形的两边长是 4 和 6,第三边的长是方程 $ (x - 3)^{2}= 4 $ 的根,则此三角形的周长为( )

A.17
B.11
C.15
D.11 或 15

答案： C 【解析】(x-3)²=4，x-3=±2，解得x₁=5，x₂=1. 若x=5，则三角形的三边长分别为4，5，6，其周长为4+5+6=15；若x=1，6-4=2＞1，不能构成三角形. 则此三角形的周长是15. 故选 C.

4 [2024 山东菏泽调研]若 $ (a^{2}+b^{2}-3)^{2}= 25 $,则 $ a^{2}+b^{2}= $( )

A.8 或 -2
B.-2
C.8
D.2 或 -8

答案： C 【解析】由(a²+b²-3)²=25，得a²+b²-3=±5，所以a²+b²=3±5，解得a²+b²=8或a²+b²=-2（不合题意，舍去）. 故选 C.

5 [2024 浙江杭州期末]已知一元二次方程 $ (x - 2)^{2}= 3 $ 的两根为 $ a,b $,且 $ a ＞ b $,则 $ 2a + b $ 的值为______。

答案： 6+√3 【解析】(x-2)²=3，
∴x-2=±√3，解得x₁=2+√3，x₂=2-√3.
∵方程(x-2)²=3的两根为a，b，且a＞b，
∴a=2+√3，b=2-√3，
∴2a+b=2(2+√3)+2-√3=6+√3. 故答案为6+√3.

6 [2024 安徽阜阳期中]用配方法将代数式 $ x^{2}+4x - 5 $ 变形,结果正确的是( )

A.$ (x + 2)^{2}-1 $
B.$ (x + 2)^{2}-5 $
C.$ (x + 2)^{2}+4 $
D.$ (x + 2)^{2}-9 $

答案： D 【解析】x²+4x-5=x²+4x+4-4-5=(x+2)²-9. 故选 D.

7 若把代数式 $ x^{2}-2x - 3 $ 化为 $ (x + m)^{2}+k $ 的形式,其中 $ m,k $ 为常数,则 $ m + k = $______。

答案： -5 【解析】x²-2x-3=(x²-2x+1)-4=(x-1)²-4，故m=-1，k=-4.
∴m+k=-5.

8 [2024 山东东营中考]用配方法解一元二次方程 $ x^{2}-2x - 2023= 0 $,将它转化为 $ (x + a)^{2}= b $ 的形式,则 $ a^{b} $ 的值为( )

A.-2024
B.2024
C.-1
D.1

答案： D 【解析】x²-2x-2023=0，移项，得x²-2x=2023，配方，得x²-2x+1=2023+1，即(x-1)²=2024，所以a=-1，b=2024，所以aᵇ=(-1)²⁰²⁴=1. 故选 D.

9 [2025 江苏苏州校级期中]如果代数式 $ x^{2}+x + 2 $ 与 $ 5x - 2 $ 的值相等,那么 $ x = $______。

答案： 2 【解析】根据题意得x²+x+2=5x-2，
∴x²-4x+4=0，
∴(x-2)²=0，
∴x₁=x₂=2. 故答案为2.

10 [2025 福建泉州校级期中]若方程 $ x^{2}-4096576= 0 $ 的两根为 $ x_{1}= 2024,x_{2}= -2024 $,则方程 $ x^{2}-2x - 4096575= 0 $ 的两根为______。

答案： x₁=2025，x₂=-2023 【解析】x²-2x-4096575=0，则x²-2x=4096575，
∴x²-2x+1=4096575+1，
∴(x-1)²=4096576，
∴x-1=±2024，
∴x₁=2025，x₂=-2023. 故答案为x₁=2025，x₂=-2023.

11 用配方法解下列方程:
(1) $ x^{2}-8x + 13= 0 $。
(2) $ x^{2}+5x + 7= 3x + 11 $。

答案： 【解】
(1)x²-8x+13=0，移项，得x²-8x=-13，配方，得x²-8x+16=-13+16，即(x-4)²=3，开平方，得x-4=±√3，
∴x₁=√3+4，x₂=-√3+4.
(2)移项、合并同类项，得x²+2x=4. 配方，得x²+2x+1=4+1，即(x+1)²=5，
∴x+1=±√5，
∴x₁=-1+√5，x₂=-1-√5.

12 [2025 辽宁大连期末]将长为 8 cm,宽为 6 cm 的长方形的长和宽都增加相同长度,结果长方形的面积增加了 $ 51cm^{2} $。求增加后长方形的长和宽。

答案： 【解】设长和宽各增加x cm，则增加后长方形的长为(8+x)cm，宽为(6+x)cm. 由题意，得(8+x)(6+x)=8×6+51，整理，得x²+14x=51. 配方，得x²+14x+7²=51+7²，
∴(x+7)²=100. 解得x₁=3，x₂=-17（不合题意，舍去），
∴8+x=8+3=11，6+x=6+3=9. 答：增加后长方形的长为11 cm，宽为9 cm.

13 [2024 河北衡水调研]如图所示,在用配方法解一元二次方程时,有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是______。

答案： 丁 【解析】x²-2x-8=0，x²-2x=8，x²-2x+1=8+1，(x-1)²=9，
∴x-1=±3，解得x₁=4，x₂=-2. 由上可得，丁同学所负责的步骤是错误的，故答案为丁.