《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 [2025 河北邯郸期中,中]如图,在 $□ ABCD$ 中,P 是 AD 边上的一个点,连接 PB,PC,M,N 分别是 PB,PC 的中点。若 $S_{四边形 BMNC} = 6$,则 $S_{□ ABCD}$ 的值是( )

A.12
B.14
C.16
D.18

答案： C

2 [中]如图,在等腰三角形 ABC 中,$AB = AC$,图中所有三角形均相似,其中几个最小的三角形面积均为 1,$\triangle ABC$ 的面积为 44,则四边形 DBCE 的面积是( )

A.22
B.24
C.26
D.28

答案： D

3 [2024 浙江宁波质检,中]如图是一个由 A,B,C 三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形,A,B,C 纸片的面积分别为 $S_1$,$S_2$,$S_3$(C 与 B,B 与 A 的相似比相同),相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,若 $S_1 ＞ S_2 ＞ S_3$,则这个矩形的面积一定可以表示为( )

A.$4S_1$
B.$6S_2$
C.$4S_2 + 3S_3$
D.$3S_1 + 4S_3$

答案： A

4 [2025 山东德州质检,中]如图,在 $□ ABCD$ 中,$AB = 10$,$AD = 15$,$\angle BAD$ 的平分线交 BC 于点 E,交 DC 的延长线于点 F,$BG \perp AE$ 于点 G,若 $BG = 8$,则 $\triangle CEF$ 的周长为 ____。

答案： 16

5 [2024 山东烟台调研,中]如图,矩形 ABCD 被分成 5 个正方形和 2 个小矩形后形成一个中心对称图形,如果矩形 BEFG $\backsim$ 矩形 ABCD,那么 $\frac{S_{矩形 BEFG}}{S_{矩形 ABCD}}$ 的值为 ____。

答案： $\frac{1}{4}$

6 [较难]如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 B 作 BE // AC,交 DA 的延长线于点 E,连接 OE,交 AB 于点 F,则四边形 BCOF 的面积与 $\triangle AEF$ 的面积的比值为 ____。

答案： $\frac{5}{2}$

7 [2025 贵州六盘水校级质检,中]如图,把菱形 ABCD 沿着 BD 的方向平移到菱形 $A'B'C'D'$ 的位置,两个菱形的重叠部分为四边形 $B'EDF$。
(1)求证：四边形 $B'EDF$ 是菱形；
(2)若四边形 $B'EDF$ 面积是菱形 ABCD 面积的一半,且 $BD = \sqrt{2}$,求菱形 ABCD 平移的距离。

答案：
(1)【证明】由平移的性质可知$A'B'// AB$。又$\because CD// AB$，$\therefore A'B'// CD$，同理可得$B'C'// AD$，$\therefore$ 四边形$B'EDF$为平行四边形。$\because$ 四边形ABCD是菱形，$\therefore AB = AD$，$\therefore \angle ABD=\angle ADB$。又$\because \angle A'B'D=\angle ABD$，$\therefore \angle A'B'D=\angle ADB$，$\therefore FB' = FD$，$\therefore$ 四边形$B'EDF$为菱形。
(2)【解】$\because$ 菱形$B'EDF$与菱形ABCD有一个公共角，$\therefore$ 这两个菱形各角分别相等。又$\because$ 易知这两个菱形各边成比例，$\therefore$ 这两个菱形相似。$\because S_{菱形ABCD}:S_{菱形B'EDF}=2:1$，$\therefore \frac{B'D}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore B'D=\frac{\sqrt{2}}{2}× \sqrt{2}=1$，$\therefore$ 平移的距离$BB' = BD - B'D=\sqrt{2}-1$。