《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

5[2025陕西咸阳期中,中]如图,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,连接AM,过点M作MN⊥AM,交CD于点N,以AM,MN为邻边作矩形AMNP.
(1)求证:矩形AMNP是正方形.
(2)若点N为CD的中点,且AD= 8,求正方形AMNP的面积.

答案：

(1)【证明】如图，过点M作ME⊥AD于点E，MF⊥CD于点F。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC = 90°，∠MDA = ∠MDC = 45°。
∵ME⊥AD，MF⊥CD，
∴ME = MF。
∵∠MED = ∠MFD = ∠EDF = 90°，
∴四边形EMFD是正方形，
∴∠EMF = 90° = ∠AMN，
∴∠AME = ∠NMF。
在△AME和△NMF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠AME = ∠NMF\\ ME = MF\\ ∠AEM = ∠NFM\end{array}\right.$，
∴△AME≌△NMF(ASA)，
∴AM = NM。
又
∵四边形AMNP是矩形，
∴四边形AMNP是正方形。

(2)【解】连接AN。
∵在正方形ABCD中，点N为CD的中点，且AD = 8，
∴$DN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AD = 4$，
∴在Rt△ADN中，$AN=\sqrt{AD^{2}+DN^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=4\sqrt{5}$。
∵四边形AMNP是正方形，
∴易知正方形AMNP的面积为$\frac{1}{2}AN^{2}=\frac{1}{2}×(4\sqrt{5})^{2}=40$。

6[2025广东韶关期中,中]【阅读理解】半角模型是指有公共顶点,锐角等于较大角的一半,且组成这个较大角的两边相等.通过旋转或截长补短,将角的倍分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形,用以解决线段关系、角度、面积等问题.
【初步探究】如图(1),在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,连接AE,AF,EF.若∠EAF= 45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABG.易证:△AEF≌△AEG.
(1)根据以上信息填空:
①∠EAG= ____°;
②线段BE,EF,DF之间满足的数量关系为____.
【迁移探究】
(2)如图(2),在正方形ABCD中,若点E在CB的延长线上,点F在DC的延长线上,∠EAF= 45°,猜想线段BE,EF,DF之间的数量关系,并证明.
【拓展探索】
(3)如图(3),已知正方形ABCD的边长为$3\sqrt {2}$,E,F分别在BC,CD上,∠EAF= 45°,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若点M恰好为线段BD的三等分点,且BM＜DM,求线段MN的长.

答案：

(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D = ∠DAB = ∠ABC = 90°。
由旋转得∠ABG = ∠D = ∠ABE = 90°，∠GAB = ∠FAD，AG = AF，BG = DF，
∴G，B，E共线。
∵∠EAF = 45°，
∴∠EAG = ∠GAB + ∠BAE = ∠FAD + ∠BAE = 45° = ∠EAF。
在△EAF和△EAG中，$\left\{\begin{array}{l} AF = AG\\ ∠EAF = ∠EAG\\ AE = AE\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△EAG(SAS)，
∴EF = EG。
∵BE + BG = EG，
∴BE + DF = EF。故答案为①45，②BE + DF = EF。
(2)BE + EF = DF。证明如下：如图
(1)，在DC上截取DH = BE，连接AH。
在△ABE和△ADH中，$\left\{\begin{array}{l} AB = AD\\ ∠ABE = ∠D = 90^{\circ }\\ BE = DH\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADH(SAS)，
∴AE = AH，∠BAE = ∠DAH，
∴∠BAE + ∠BAH = ∠BAH + ∠DAH = 90°，即∠EAH = ∠BAD = 90°。
∵∠EAF = 45°，
∴∠EAF = ∠FAH = 45°。
在△EAF和△HAF中，$\left\{\begin{array}{l} AE = AH\\ ∠EAF = ∠HAF\\ AF = AF\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△HAF(SAS)，
∴EF = HF。
∵DH + HF = DF，
∴BE + EF = DF。

(3)如图
(2)，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，连接KM。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD = $3\sqrt{2}$，∠BAD = 90°，
∴∠ABD = ∠ADB = 45°，BD = $\sqrt{AB^{2}+AD^{2}} = 6$，
∴BM = $\frac{1}{3}BD = 2$，
∴DM = BD - BM = 4。
由旋转可得，∠KAN = 90°，AK = AN，BK = DN，∠ABK = ∠ADB = 45°，
∴∠KBM = ∠ABK + ∠ABD = 90°。
∵∠KAN = 90°，∠MAN = 45°，
∴∠KAM = ∠MAN = 45°。
又
∵AM = AM，
∴△AMK≌△AMN，
∴KM = MN。
设MK = MN = x，则BK = DN = 4 - x。
在Rt△BMK中，$BK^{2}+BM^{2}=MK^{2}$，
∴$(4 - x)^{2}+2^{2}=x^{2}$，解得x = 2.5，
∴MN = 2.5。