《2025年初中必刷题九年级数学上册北师大版》

1 [2025 江苏南京期中]在四边形 ABCD 中,∠A = ∠B = ∠C = 90°,如果再添加一个条件可证明四边形 ABCD 是正方形,那么这个条件可以是( )

A.AB = BC
B.AB = CD
C.AC = BD
D.∠D = 90°

答案： A 【解析】在四边形 ABCD 中，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形 ABCD 是矩形. 当 AB=BC，即一组邻边相等时，矩形 ABCD 为正方形，故 A 符合题意. 故选 A.

2 如图,小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件：①AB = BC,②∠ABC = 90°,③AC = BD,④AC ⊥ BD 中任选两个作为补充条件,使▱ABCD 为正方形。现有下列四种选法,你认为其中错误的是( )


A.②③
B.①③
C.①②
D.③④

答案： A 【解析】A 选项：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形 ABCD 是矩形，而③AC=BD，这是矩形的性质，无法得出四边形 ABCD 是正方形，故此选项错误，符合题意；B 选项：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴当①AB=BC 时，平行四边形 ABCD 是菱形，当③AC=BD 时，菱形 ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意；C 选项，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴当①AB=BC 时，平行四边形 ABCD 是菱形，当②∠ABC=90°时，菱形 ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意；D 选项：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴当③AC=BD 时，平行四边形 ABCD 是矩形，当④AC⊥BD 时，矩形 ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意. 故选 A.

3 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,AE 过 BC 的中点 O 交 DC 的延长线于点 E,连接 AC,BE。
(1)求证：△AOB ≌ △EOC；
(2)若 OA = OB 且 ∠D = 45°,判断四边形 ABEC 是什么特殊四边形,并说明理由。

答案：
(1)【证明】
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABO=∠ECO.
∵O 是 BC 的中点，
∴BO=CO. 在△AOB 和△EOC 中，∠ABO=∠ECO，BO=CO，∠AOB=∠EOC，
∴△AOB≌△EOC(ASA).
(2)【解】四边形 ABEC 是正方形. 理由如下：由
(1)可知，△AOB≌△EOC，
∴OA=OE.
∵BO=CO，
∴四边形 ABEC 是平行四边形.
∵OA=OB，
∴OA=BO=CO=EO，
∴BC=AE，
∴平行四边形 ABEC 是矩形.
∵∠D=45°，四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ABO=∠D=45°.
∵AO=BO，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
∴∠AOB=90°，
∴AE⊥BC，
∴矩形 ABEC 是正方形.

4 [2024 河南安阳期中]如图,任意四边形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点,连接 AC,BD,对于四边形 EFGH 的形状,下列说法中错误的是( )

A.若 AC = BD,则四边形 EFGH 为菱形
B.若 AC ⊥ BD,则四边形 EFGH 为矩形
C.若 AC = BD,且 AC ⊥ BD,则四边形 EFGH 为正方形
D.若 AC 与 BD 互相平分,且 AC = BD,则四边形 EFGH 是正方形

答案： D 【解析】当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 AC=BD 时，存在 EF=FG=GH=HE，则四边形 EFGH 为菱形，故 A 选项不符合题意；当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 AC⊥BD 时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠HEF=90°，则四边形 EFGH 为矩形，故 B 选项不符合题意；当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 AC=BD，AC⊥BD 时，存在 EF=FG=GH=HE，∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠HEF=90°，则四边形 EFGH 为正方形，故 C 选项不符合题意；当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 AC 与 BD 互相平分，AC=BD 时，存在 EF=FG=GH=HE，则四边形 EFGH 为菱形，故 D 选项符合题意. 故选 D.

5 如图,已知正方形 ABCD,P 是对角线 AC 上任意一点,E 为 AD 上的点,且 ∠EPB = 90°,PM ⊥ AD,PN ⊥ AB。
(1)求证：四边形 PMAN 是正方形；
(2)求证：EM = BN。

答案：
(1)【证明】
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD=90°，AC 平分∠BAD.
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°. 又
∵∠BAD=90°，
∴四边形 PMAN 是矩形.
∵PM=PN，
∴四边形 PMAN 是正方形.
(2)【证明】
∵四边形 PMAN 是正方形，
∴∠MPN=90°.
∵∠EPB=90°，
∴∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°，
∴∠MPE=∠NPB. 在△EPM 和△BPN 中，∠PMA=∠PNB=90°，PM=PN，∠MPE=∠NPB，
∴△EPM≌△BPN(ASA)，
∴EM=BN.

6 四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,请添加一些条件使其成为正方形。
丽丽同学认为若添加 AB = AD,∠DAB = 90°,可判定四边形 ABCD 是正方形。她的想法是否正确？若不正确,请给出正确的结论。

答案： 【解】不正确. 若要使四边形 ABCD 是正方形，可先使其成为菱形或者矩形. 当 AO=CO，BO=DO，∠DAB=90°时，四边形 ABCD 为矩形. 再添加条件 AB=AD，可判定四边形 ABCD 为正方形. 当 AO=CO，BO=DO，AB=AD 时，四边形 ABCD 为菱形. 再添加条件∠DAB=90°，可判定四边形 ABCD 为正方形. 答案不唯一，合理即可.