《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

老师让同学们探究：如图(1),若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃食物,则蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
(1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图(2)为三级台阶的平面展开图,可得到长为20dm,宽为15dm的长方形,连接AB,经过计算得到AB的长度为______,就是最短路程.
【变式探究】
(2)如图(3),已知圆柱底面的周长为6dm,圆柱高为4dm,在圆柱的侧面有一只蚂蚁,从点A爬到点C,再从点C爬回点A,恰好爬行一圈,则这只蚂蚁爬行的最短路程为______.
【拓展应用】
(3)如图(4),圆柱形玻璃杯的高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在外壁离杯口1cm,且与蜂蜜相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度不计)

答案：

(1)由勾股定理,得AB²=20²+15²=625,所以AB=25dm.故答案为25dm.
(2)如图
(1)，将圆柱侧面沿点C所在高线展开，易知AC=AC'.因为圆柱底面的周长为6dm,圆柱高为4dm,所以AB=4dm,BC=BC'=3dm,所以AC²=4²+3²=25,所以AC=5dm,所以2AC=10dm.即这只蚂蚁爬行的最短路程为10dm.故答案为10dm.

(3)玻璃杯一半的侧面展开示意图如图
(2),作B关于EF的对称点B',作B'D⊥AE,交AE延长线于点D,连接AB',则AB'的长为最短路程.由题意得DE=FB'=BF=1cm,AE=9 - 4=5(cm),所以AD=AE+DE=6cm.因为底面周长为16cm,所以B'D=$\frac{1}{2}×16=8$(cm).因为∠D=90°,所以在Rt△AB'D中,AB'²=AD²+B'D²=100,所以AB'=10cm,所以蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为10cm.