《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

6 [2025江苏宿迁期末,较难]如图(1),函数$y= \frac{1}{2}x+3的图象与x轴交于点A$,与$y轴交于点B$,点$C与点A关于y$轴对称.
(1)求直线$BC$的函数表达式.
(2)设点$M是x$轴上的一个动点,过点$M作y$轴的平行线,交直线$AB于点P$,交直线$BC于点Q$.
①若$PQ的长为4$,求点$M$的坐标.
②如图(2),连接$BM$,在点$M的运动过程中是否存在点P$,使$∠BMP= ∠BAC$,若存在,请求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.

答案： 6.【解】
(1)对于y = $\frac{1}{2}$x + 3，当x = 0时，y = 3，当y = 0时，x = - 6，所以B(0,3)，A(- 6,0)。因为点C与点A关于y轴对称，所以C(6,0)。设直线BC的表达式为y = kx + b(k≠0)。将B(0,3)，C(6,0)分别代入y = kx + b，得b = 3，6k + b = 0，解得b = 3，k = - $\frac{1}{2}$，所以直线BC的表达式为y = - $\frac{1}{2}$x + 3。
(2)①设M(m,0)，则P(m,$\frac{1}{2}$m + 3)，Q(m,- $\frac{1}{2}$m + 3)，所以PQ = | - $\frac{1}{2}$m + 3 - ($\frac{1}{2}$m + 3)| = | - m | = 4，解得m = ±4，所以点M的坐标为(4,0)或(- 4,0)。
②存在。当点M在y轴的左侧时，因为点C与点A关于y轴对称，所以AB = BC，所以∠BAC = ∠BCA。因为∠BMP = ∠BAC，所以∠BMP = ∠BCA。因为∠BMP + ∠BMC = 90°，所以∠BCA + ∠BMC = 90°，所以∠MBC = 180° - (∠BMC + ∠BCA) = 90°，所以BM² + BC² = MC²。设M(a,0)，则P(a,$\frac{1}{2}$a + 3)，所以BM² = OM² + OB² = a² + 9，MC² = (6 - a)²，BC² = OC² + OB² = 6² + 3² = 45，所以a² + 9 + 45 = (6 - a)²，解得a = - $\frac{3}{2}$，所以P(- $\frac{3}{2}$,$\frac{9}{4}$)。当点M在y轴的右侧时，同理可得P($\frac{3}{2}$,$\frac{15}{4}$)。综上所述，点P的坐标为(- $\frac{3}{2}$,$\frac{9}{4}$)或($\frac{3}{2}$,$\frac{15}{4}$)。
关键点拨
(3)如图，分∠PAF = 90°和∠P'FA = 90°两种情况讨论，不要漏解。
思路分析
(2)②分点M在y轴左侧和右侧两种情况讨论，由对称得出∠BAC = ∠ACB，进而得到∠MBC = 90°，最后利用勾股定理建立方程求解即可。

7 [2025山西太原调研,较难]如图,平面直角坐标系中,一次函数$y= -\frac{1}{2}x+5的图象与x$轴、$y轴分别交于点A$,$B$,点$F是线段AB$上的一个动点(不与$A$,$B$重合),连接$OF$,设点$F的横坐标为x$.
(1)直接写出$A$,$B$两点的坐标；
(2)求$\triangle OAF的面积S与x$之间的函数关系式,并写出自变量$x$的取值范围；
(3)当$\triangle OAF的面积S= \frac{1}{2}S_{\triangle OAB}$时,第一象限内存在点$P$,使$\triangle APF是以AF$为直角边的等腰直角三角形,直接写出点$P$的坐标.

答案：
7.【解】
(1)A(10,0)，B(0,5)。
(2)由
(1)可得OA = 10。因为点F是线段AB上的一个动点(不与A，B重合)，点F的横坐标为x，所以F点坐标为(x,- $\frac{1}{2}$x + 5)，所以S = $\frac{1}{2}$×10×(- $\frac{1}{2}$x + 5) = - $\frac{5}{2}$x + 25(0 ＜ x ＜ 10)，即△OAF的面积S与x之间的函数关系式为S = - $\frac{5}{2}$x + 25(0 ＜ x ＜ 10)。
(3)点P的坐标为($\frac{25}{2}$,5)或($\frac{15}{2}$,$\frac{15}{2}$)。如图，过点F作FE⊥x轴于点E。

由
(1)可得OB = 5，所以S△OAB = $\frac{1}{2}$×5×10 = 25。由
(2)得S = - $\frac{5}{2}$x + 25。因为S = $\frac{1}{2}$S△OAB，所以 - $\frac{5}{2}$x + 25 = $\frac{1}{2}$×25，解得x = 5。将x = 5代入y = - $\frac{1}{2}$x + 5中，得y = $\frac{5}{2}$，所以F(5,$\frac{5}{2}$)，E(5,0)。分两种情况:
①当∠PAF = 90°时，AF = AP，过点P作PG⊥x轴于G，所以∠FEA = ∠FAP = ∠PGA = 90°，所以∠AFE + ∠FAE = ∠FAE + ∠PAG = 90°，所以∠AFE = ∠PAG。在△FAE和△APG中，{∠FEA = ∠AGP，∠AFE = ∠PAG，AF = PA}，所以△FAE≌△APG(AAS)，所以FE = AG = $\frac{5}{2}$AE = PG = OA - OE = 5，所以OG = OA + AG = $\frac{25}{2}$，所以P($\frac{25}{2}$,5)。
②当∠P'FA = 90°时，AF = AP'，过点P'作P'H⊥FE，交EF的延长线于点H，同理可得△P'HF≌△FEA(AAS)，所以FH = AE = 5，HP' = FE = $\frac{5}{2}$，所以易得P'($\frac{15}{2}$,$\frac{15}{2}$)。综上所述,点P的坐标为($\frac{25}{2}$,5)或($\frac{15}{2}$,$\frac{15}{2}$)。