《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1 [2024安徽淮南期末,中]如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7 m,顶端距离地面2.4 m.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2 m,则小巷的宽度为 ( )

A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m

答案： C　[解析]如图，由题意知∠ACB=∠BDE=90°，CB=0.7m，AC=2.4m，DE=2m.在Rt△ABC中，$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=2.4^{2}+0.7^{2}=6.25$，所以AB=2.5m.因为AB=BE，所以BE=2.5m，所以$BD^{2}=BE^{2}-DE^{2}=2.5^{2}-2^{2}=2.25$，所以BD=1.5m，所以CD=CB+BD=0.7+1.5=2.2(m)，即小巷的宽度为2.2m.故选C.

2 [2025湖北黄石质检,中]如图,松松在放风筝时(其中∠AEC= 90°),测得如下数据:①BD的长为12 m(BD⊥CE);②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为15 m,若松松想使风筝沿CD方向下降4 m,则他应该往回收线 ( )

A.2 m
B.5 m
C.5.4 m
D.3.6 m

答案： A　[解析]因为BD⊥CE，所以∠BDC=90°.在Rt△CDB中，由勾股定理，得$CD^{2}=BC^{2}-BD^{2}=15^{2}-12^{2}=81$，所以CD=9m.设风筝沿CD方向下降4m至点M，连接BM，如图，则CM=4m，所以DM=CD−CM=9−4=5(m)，所以$BM^{2}=BD^{2}+DM^{2}=12^{2}+5^{2}=169$，所以BM=13m，所以BC−BM=15−13=2(m)，即松松应该往回收线2m，故选A.

3 [2024陕西中考,中]如图,在△ABC中,AB= AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作BF//AC,且BF= AE,连接CF.若AC= 13,BC= 10,则四边形EBFC的面积为______.

答案： 60　[解析]因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB.因为BF//AC，所以∠ACB=∠CBF，所以∠ABC=∠CBF，所以BC平分∠ABF.如图，过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥BF于点N，则CM=CN.因为$S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}AE\cdot CM$，$S_{\triangle CBF}=\frac{1}{2}BF\cdot CN$，且BF=AE，所以$S_{\triangle CBF}=S_{\triangle ACE}$，所以四边形EBFC的面积为$S_{\triangle CBF}+S_{\triangle CBE}=S_{\triangle ACE}+S_{\triangle CBE}=S_{\triangle CBA}$.因为AC=13，所以AB=13.设AM=x，则BM=13−x.由勾股定理，得$CM^{2}=AC^{2}-AM^{2}=BC^{2}-BM^{2}$，所以$13^{2}-x^{2}=10^{2}-(13-x)^{2}$，解得$x=\frac{119}{13}$，所以$CM^{2}=13^{2}-(\frac{119}{13})^{2}=\frac{14400}{169}$，所以$CM=\frac{120}{13}$，所以$S_{\triangle CBA}=\frac{1}{2}AB\cdot CM=60$，所以四边形EBFC的面积为60.故答案为60.

4 [较难]如图,长方形ABCD中,AB= 3,BC= 4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B'处.当△CEB'为直角三角形时,BE的长为______.

答案： $\frac{3}{2}$或3　[解析]当△CEB'为直角三角形时，有以下两种情况：①当∠CB'E=90°时，如图
(1)所示，连接AC.在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，所以$AC^{2}=4^{2}+3^{2}=25$，则AC=5.因为∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处，所以∠AB'E=∠B=90°.又因为∠CB'E=90°，所以点A，B'，C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，则EB=EB'，AB=AB'=3，所以CB'=5−3=2.设BE=EB'=x，则CE=4−x.在Rt△CEB'中，因为$EB'^{2}+CB'^{2}=CE^{2}$，所以$x^{2}+2^{2}=(4-x)^{2}$，解得$x=\frac{3}{2}$，即$BE=\frac{3}{2}$.②当点B'落在AD边上时，如图
(2)所示.易知此时四边形ABEB'为正方形，∠CEB'=90°，所以BE=AB=3.综上所述，BE的长为$\frac{3}{2}$或3.故答案为$\frac{3}{2}$或3.

5 核心素养应用意识[2025广西防城港期中,中]
【问题情境】消防云梯常用于高层建筑火灾等救援任务,它能让消防员快速到达高层救援现场.如图,已知一架云梯AB长25 m,斜靠在一面墙上,这时云梯底端与墙角的距离OB= 20 m,∠AOB= 90°.
【独立思考】(1)求这架云梯顶部距离地面的高度OA.
【深入探究】(2)消防员接到命令,按要求将云梯从顶部A下滑到A'位置上,则底部B沿水平方向滑动到B'位置上,若AA'= 8 m,求BB'的长度.
【问题解决】(3)在演练中,墙边距地面24 m的窗口有求救声,消防员需调整云梯去救援被困人员.经验表明,云梯靠墙摆放时,如果云梯底端到墙的距离不小于云梯长度的$\frac{1}{5},$则云梯和消防员相对安全,在相对安全的前提下,云梯的顶端能否到达24 m高的窗口去救援被困人员?

答案：
(1)在Rt△OAB中，由勾股定理得$OA^{2}=AB^{2}-OB^{2}=25^{2}-20^{2}=225$，所以OA=15m.
(2)因为OA=15m，AA'=8m，所以OA'=OA−AA'=15−8=7(m).在Rt△A'OB'中，由勾股定理得$OB'^{2}=A'B'^{2}-OA'^{2}=25^{2}-7^{2}=576$，所以OB'=24m，所以BB'=OB'−OB=24−20=4(m).
(3)因为$25^{2}-24^{2}=49$，所以当云梯的顶端到达24m高的窗口时，云梯的底端与墙的距离为7m.因为$25×\frac{1}{5}=5(m)$，7m＞5m，所以在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24m高的窗口去救援被困人员.