《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1 [2025浙江温州期中]如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,D为AC上一点,且DA= DB= 5,若△ABD的面积为10,则CD的长为 ( )

A.3
B.4
C.5
D.4.5

答案： A　[解析]因为在Rt△ABC中,∠C=90°，所以BC⊥AC，即BC是△DAB的高.因为△DAB的面积为10,DA=5,所以$\frac{1}{2}DA\cdot BC=10$,所以BC=4,所以$CD^{2}=DB^{2}-BC^{2}=9$,所以CD=3.故选A.

2 [2025江苏南京期中]如图,在长方形ABCD中,AB= 9,AD= 27,将此长方形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为 ( )

A.54
B.90
C.108
D.216

答案： A　[解析]根据折叠的性质得DE=BE，设BE=DE=x.因为AD=27,所以AE=AD−DE=27−x.在Rt△ABE中,AB=9,由勾股定理得$BE^{2}=AB^{2}+AE^{2}$,所以$x^{2}=9^{2}+(27−x)^{2}$,解得x=15,所以BE=DE=15,所以AE=AD−DE=12,所以$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}AE\cdot AB=\frac{1}{2}×12×9=54$.故选A.

3 [2025河北唐山期中]对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD= 4,BC= 2,则$AB^2+CD^2= ______.$

答案： 20　[解析]因为AC⊥BD,所以$AB^{2}+CD^{2}=OA^{2}+OB^{2}+OD^{2}+OC^{2}=AD^{2}+BC^{2}=4^{2}+2^{2}=20$.故答案为20.

4 [2025河南焦作质检]如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AB= 13 cm,AC= 15 cm,AD= 12 cm,则△ABC的面积为$______cm^2.$

答案： 84　[解析]因为AD是BC边上的高,所以∠ADB=∠ADC=90°,所以$BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=13^{2}-12^{2}=25$,$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}=15^{2}-12^{2}=81$,所以BD=5cm,CD=9cm,所以BC=BD+DC=14cm,所以△ABC的面积为$\frac{1}{2}BC\cdot AD=84cm^{2}$.故答案为84.

5 [2025山东烟台期中]如图,在△ABC中,AB= AC,点E在AC上,CE= 5,BC= 13,BE= 12.
(1)判断△ABE的形状,并说明理由;
(2)求AB的长.

答案：
(1)△ABE是直角三角形.理由如下:在△BCE中,$BE^{2}+EC^{2}=12^{2}+5^{2}=169=BC^{2}$,所以∠BEC=90°,所以∠AEB=90°,所以△ABE是直角三角形.
(2)设AB=x.因为AC=x,CE=5,所以AE=x−5.在Rt△ABE中,由勾股定理得$x^{2}=12^{2}+(x−5)^{2}$,解得x=16.9,所以AB的长为16.9.

6 [2024广西桂林期中]如图所示,一根长为7 cm的吸管放在一个圆柱形杯中,测得杯的内部底面直径为3 cm,高为4 cm,则吸管露在杯外面的最短长度为______cm.

答案： 2　[解析]设吸管在杯内部分的最大长度为xcm,则有$x^{2}=3^{2}+4^{2}$，解得x=5,所以露在杯外面的最短长度为7−5=2(cm),故答案为2.

7 如图,将一根长为16 cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上,两端点分别记为点A,点B,然后将中点C向上拉升6 cm至点D,则橡皮筋被拉长了______.

答案： 4cm　[解析]由题意知$AC=\frac{1}{2}AB=8cm$,CD=6cm.在Rt△ACD中,根据勾股定理，得$AD^{2}=AC^{2}+CD^{2}=100$,所以AD=10cm,则AD+BD−AB=2AD−AB=20−16=4(cm).故橡皮筋被拉长了4cm.故答案为4cm.

8 [2025四川成都期末]如图(1),一台笔记本电脑平放在水平桌面上,其示意图如图(2),屏幕宽BC为25 cm,当电脑张角为∠ABC时,顶部边缘C处到桌面的距离CE为20 cm,调整电脑的张角,当张角为∠ABD(点C与点D为笔记本顶部边缘同一点)时,顶部边缘D处到桌面的距离DF为15 cm,则E处与F处之间的距离EF长为______cm.

答案： 5　[解析]由题意得BC=BD=25cm,CE=20cm,DF=15cm,∠BEC=∠BFD=90°.在Rt△BEC中,由勾股定理,得$BE^{2}=BC^{2}-CE^{2}=25^{2}-20^{2}=225$,所以BE=15cm.在Rt△BFD中,由勾股定理得$BF^{2}=BD^{2}-DF^{2}=25^{2}-15^{2}=400$,所以BF=20cm,所以EF=BF−BE=20−15=5(cm).故答案为5.

9 [2024广东佛山质检]如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,此人以每秒1米的速度收绳,7秒后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了多少米?(假设收绳过程中绳子是直的)

答案： [解]在Rt△ABC中,因为∠CAB=90°,BC=17米,AC=8米,所以$AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}=17^{2}-8^{2}=225$,所以AB=15米.因为此人以每秒1米的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，所以CD=17−1×7=10(米),所以$AD^{2}=CD^{2}-AC^{2}=100-64=36$,所以AD=6米,所以BD=AB−AD=15−6=9(米).答:船向岸边移动了9米.