《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1[中]若$\sqrt [3]{x-3}-\sqrt [3]{2x+1}= 0$,则$x^{2}+x-3$的算术平方根为( )

A.3
B.2
C.3和-3
D.2和-2

答案： A 【解析】因为$\sqrt [3]{x-3}-\sqrt [3]{2x+1}=0$，所以$\sqrt [3]{x-3}=\sqrt [3]{2x+1}$，所以$x-3=2x+1$，所以$x=-4$，所以$x^{2}+x-3=16-4-3=9$，所以$x^{2}+x-3$的算术平方根为$\sqrt {9}=3$.

2[中]已知$\sqrt [3]{326}\approx 6.882$,若$\sqrt [3]{x}\approx 68.82$,则x的值约为( )

A.326000
B.32600
C.3.26
D.0.326

答案： A 【解析】由一个数的立方根扩大为原来的 10 倍，则这个数就扩大为原来的 1000 倍，可知 x 的值约为$326×10^{3}=326000$.

3[2024辽宁沈阳调研,中]若$\sqrt [3]{a}$是小数且整数部分为2,则满足条件的奇数a有____个.

答案： 9 【解析】因为$\sqrt [3]{8}=2$，$\sqrt [3]{27}=3$，而$\sqrt [3]{a}$的整数部分为 2，所以$8\lt a\lt27$，则满足条件的奇数 a 有 9，11，13，15，17，19，21，23，25，共 9 个. 故答案为 9.

4[中]立方根等于本身的数的个数为a,平方根等于本身的数的个数为b,算术平方根等于本身的数的个数为c,倒数等于本身的数的个数为d,则a+b+c+d= ____.

答案： 8 【解析】立方根等于本身的数的个数为 3，故$a=3$；平方根等于本身的数的个数为 1，故$b=1$；算术平方根等于本身的数的个数为 2，故$c=2$；倒数等于本身的数的个数为 2，故$d=2$，把这些数值代入，得$a+b+c+d=8$.

5[较难]M是个位数字不为零的两位数,将M的个位数字与十位数字互换后,得另一个两位数N,若M-N恰是某正整数的立方,则这样的两位数M共有____个.

答案： 6 【解析】设两位数$M=10a+b$，则$N=10b+a$，设$M-N$是正整数 c 的立方. 因为 a，b 为正整数，且$1≤a≤9$，$1≤b≤9$，所以$M-N=(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)=c^{3}$，显然$c^{3}≤72$. 因为 c 是正整数，$4^{3}=64$，$5^{3}=125$，所以$c≤4$. 又因为 c 是正整数，$c^{3}$是 9 的整数倍，所以$c=3$，即$a-b=3$，所以满足条件的两位数 M 有 41，52，63，74，85，96，共 6 个. 故答案为 6.

6[2024山西大同期中,中]有一个长方体水池的长、宽、高之比为2:2:4,其体积为16m^3.
(1)求长方体水池的长、宽、高各为多少.
(2)若将一个半径为r m的球放入注满水的水池中(球沉入水里),溢出水池的水的体积为水池体积的$\frac {1}{32}$,求该球的半径为多少.($\pi$取3,结果精确到0.1m.球的体积公式:$V_{球}= \frac {4}{3}\pi r^{3}$)

答案： 【解】
(1)因为长方体水池的长、宽、高之比为$2:2:4$，其体积为$16m^{3}$，所以设长方体水池的长、宽、高分别为 2x m，2x m，4x m，所以$2x\cdot 2x\cdot 4x=16$，所以$16x^{3}=16$，所以$x^{3}=1$，解得$x=1$，所以长方体水池的长、宽、高分别为 2 m，2 m，4 m.
(2)已知该球的半径为 r m，则$\frac {4}{3}πr^{3}=\frac {1}{32}×16$，所以$r^{3}=\frac {1}{32}×16×\frac {1}{4π}$，所以$r=0.5$.
答：该球的半径为 0.5 m.

7[2025山西忻州期中,中]观察下列各式,然后探索下列问题.
因为$\sqrt [3]{1}= 1,\sqrt [3]{-1}= -1$,所以$\sqrt [3]{-1}= -\sqrt [3]{1}$.
因为$\sqrt [3]{8}= 2,\sqrt [3]{-8}= -2$,所以$\sqrt [3]{-8}= -\sqrt [3]{8}$.
因为$\sqrt [3]{27}= 3,\sqrt [3]{-27}= -3$,所以$\sqrt [3]{-27}= -\sqrt [3]{27}$.
因为$\sqrt [3]{n^{3}}= $(____),$\sqrt [3]{-n^{3}}= $(____),所以(____)= (____).
(1)在上面的( )中填空,并猜测互为相反数的两个数的立方根有何关系;
(2)计算$\sqrt [3]{-1}+\sqrt [3]{-8}+\sqrt [3]{-27}+... +\sqrt [3]{-100^{3}}$.

答案： 【解】
(1)因为$\sqrt [3]{n^{3}}=n$，$\sqrt [3]{-n^{3}}=-n$，所以$\sqrt [3]{-n^{3}}=-\sqrt [3]{n^{3}}$. 故答案为 n，-n，$\sqrt [3]{-n^{3}}$，$-\sqrt [3]{n^{3}}$. 互为相反数的两个数的立方根互为相反数.
(2)原式$=-1-2-3-\cdots -100=-\frac {100×(100+1)}{2}=-5050$.

(1)若$\sqrt [3]{x}$为正整数,它的个位上的数字是m,x的个位上的数字是n,请将下表填写完整;
|m|1|2|3|4|5|6|7|8|9|
|n|1|8|7|____|5|____|3|____|9|
(2)已知262144,474552都是整数的立方,则$\sqrt [3]{262144}= $____,$\sqrt [3]{474.552}= $____.

答案： 【解】
(1)$4^{3}=4×4×4=64$，$6^{3}=6×6×6=216$，$8^{3}=8×8×8=512$. 故从左到右依次填入 4，6，2.
(2)要得到$\sqrt [3]{262144}$的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定$\sqrt [3]{262144}$的位数，因为$10^{3}=1000$，$100^{3}=1000000$，而$1000\lt262144\lt1000000$，所以$10\lt\sqrt [3]{262144}\lt100$，由此得$\sqrt [3]{262144}$是两位数；第二步：确定个位数字，因为 262144 的个位上的数字是 4，而只有 4 的立方的个位上的数字是 4，所以$\sqrt [3]{262144}$的个位上的数字是 4；第三步：确定十位数字，划去 262144 后面的三位 144 得到 262，因为$6^{3}=216$，$7^{3}=343$，而$216\lt262\lt343$，所以$\sqrt [3]{262144}$的十位上的数字是 6. 综上，$\sqrt [3]{262144}=64$.
要得到$\sqrt [3]{474.552}$的结果，即要得到$\frac {\sqrt [3]{474552}}{10}$的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定$\sqrt [3]{474552}$的位数，因为$10^{3}=1000$，$100^{3}=1000000$，而$1000\lt474552\lt1000000$，所以$10\lt\sqrt [3]{474552}\lt100$，由此得$\sqrt [3]{474552}$是两位数；第二步：确定个位数字，因为 474552 的个位上的数字是 2，而只有 8 的立方的个位上的数字是 2，所以$\sqrt [3]{474552}$的个位上的数字是 8；第三步：确定十位数字，划去 474552 后面的三位 552 得到 474，因为$7^{3}=343$，$8^{3}=512$，而$343\lt474\lt512$，所以$\sqrt [3]{474552}$的十位上的数字是 7. 综上，$\sqrt [3]{474552}=78$，所以$\sqrt [3]{474.552}=\frac {78}{10}=7.8$.故答案为 64，7.8.