《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

一、选择题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1[2025江苏无锡期中]如图,所有四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C的面积依次为2,6,3,则正方形D的面积为 ( )

A.6
B.8
C.11
D.12

答案：
C 【解析】如图,设正方形A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d,正方形E的边长为x.因为所有三角形都为直角三角形,所以$a^{2}+b^{2}=x^{2}$,$x^{2}+c^{2}=d^{2}$,所以$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$.因为正方形A,B,C的面积依次为2,6,3,所以$d^{2}=2+6+3=11$,所以正方形D的面积为11.故选C.

2[2025贵州毕节质检]如图,小明将一张长为20 cm,宽为15 cm的长方形纸片(AE＞DE)剪去了一角,量得AB= 6 cm,CD= 8 cm,则BC的长为 ( )

A.8 cm
B.13 cm
C.15 cm
D.20 cm

答案：
C 【解析】如图,延长AB,DC相交于F,则$\triangle BFC$是直角三角形.由勾股定理得$BF^{2}+FC^{2}=BC^{2}$.因为$AB=6\ \text{cm}$,$CD=8\ \text{cm}$,$AF=15\ \text{cm}$,$FD=20\ \text{cm}$,所以$BC^{2}=(15-6)^{2}+(20-8)^{2}=9^{2}+12^{2}=225$,所以$BC=15\ \text{cm}$.故选C.

3[2025山东青岛期末]如图,将直角三角形纸片ABC沿AD折叠,使点B落在AC延长线上的点E处.若AC= 3,BC= 4,则图中阴影部分的面积是 ( )

A.3/4
B.9/4
C.3/2
D.9/2

答案： B 【解析】因为$AC=3$,$BC=4$,$\angle ACB=90^{\circ}$,所以$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=3^{2}+4^{2}=25$,所以$AB=5$.由折叠可得$AE=AB=5$,$BD=DE$,所以$CE=AE-AC=2$.设$CD=x$,则$BD=DE=4-x$.在$Rt\triangle CDE$中,$CD^{2}+CE^{2}=DE^{2}$,所以$x^{2}+2^{2}=(4-x)^{2}$,解得$x=\frac{3}{2}$,所以$CD=\frac{3}{2}$,所以阴影部分的面积是$\frac{1}{2}AC\cdot CD=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$.故选B.

二、填空题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
4如图所示的长方体透明玻璃鱼缸,假设其长AD= 80 cm,高AB= 60 cm,水深AE= 40 cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑,G在水面线EF上,且EG= 60 cm,一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑,则蚂蚁爬行的最短路线长为______cm.

答案：
100【解析】如图,作点A关于BC的对称点$A'$,连接$A'G$交BC于点Q,则$AQ+QG=A'Q+QG=A'G$,所以蚂蚁沿着$A\rightarrow Q\rightarrow G$的路线爬行时路程最短,最短路程等于$A'G$的长.在$Rt\triangle A'EG$中,$A'E=80\ \text{cm}$,$EG=60\ \text{cm}$,所以$A'G^{2}=A'E^{2}+EG^{2}=10000$,所以$A'G=100\ \text{cm}$,所以最短路线长为100 cm.故答案为100.

5[2025辽宁辽阳质检]在△ABC中,AB= 15,AC= 20,D是BC边所在直线上的点,AD= 12,BD= 9,则BC= ______.

答案：
25或7【解析】如图
(1),当点D在线段BC上时,因为$AD=12$,$BD=9$,$AB=15$,所以$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$,所以$\triangle ABD$是直角三角形,且$\angle ADB=90^{\circ}$,所以$\angle ADC=90^{\circ}$,所以$DC^{2}=AC^{2}-AD^{2}=20^{2}-12^{2}=256$,所以$DC=16$,所以$BC=BD+CD=9+16=25$;如图
(2),当点D在CB的延长线上时,同理可得$DC=16$,所以$BC=CD-BD=16-9=7$.因为$AC＞AB$,所以点D不在BC的延长线上.综上所述,BC的长度为25或7.故答案为25或7.

6[2025四川成都期中]如图,某沿海城市A接到台风预警,在该市正南方向340 km的B处有一台风中心,沿BC方向以15 km/h的速度移动,已知城市A到BC的距离AD为160 km.
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点?
(2)如果在距台风中心200 km的圆形区域内都将受到台风的影响,那么A市受到台风影响的时间持续多少小时?

答案：
【解】
(1)由题意可知,$AD\perp BC$,$AB=340\ \text{km}$,$AD=160\ \text{km}$,在$Rt\triangle ABD$中,$BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=90000$,所以$BD=300\ \text{km}$.因为$300÷15=20(\text{h})$,所以台风中心经过20 h从B点移到D点.
(2)如图,在射线BC上取点E,F,使得$AE=AF=200\ \text{km}$.由$AD\perp BC$得$DE=DF$.在$Rt\triangle AED$中,$ED^{2}=AE^{2}-AD^{2}=14400$,所以$ED=120\ \text{km}$,所以$EF=2ED=240\ \text{km}$,$240÷15=16(\text{h})$,所以A市受到台风影响的时间持续16 h.

7[2024江苏苏州吴江区质检]定义:在一个图形上画一条直线,若这条直线既平分该图形的面积,又平分该图形的周长,我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”.
(1)如图(1),已知△ABC,AC≠BC,过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”?若能,说出确定的方法;若不能,请说明理由.
(2)如图(2),在四边形ABCD中,∠B= ∠C= 90°,EF垂直平分AD,垂足为F,交BC于点E,已知AB= 3,BC= 8,CD= 5.试说明:直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”.

答案：
【解】
(1)不能,理由:如图
(1),若直线CD平分$\triangle ABC$的面积,则$S_{\triangle ADC}=S_{\triangle DBC}$,所以$AD=BD$.因为$AC\neq BC$,所以$AD+AC\neq BD+BC$,所以直线CD不平分$\triangle ABC$的周长,所以过点C不能画出$\triangle ABC$的一条“等分积周线”.

(2)如图
(2),连接AE,DE,设$BE=x$.因为EF垂直平分AD,所以$AE=DE$,$AF=DF$,所以$S_{\triangle AEF}=S_{\triangle DEF}$.因为$\angle B=\angle C=90^{\circ}$,$AB=3$,$BC=8$,$CD=5$,所以在$Rt\triangle ABE$和$Rt\triangle DCE$中,根据勾股定理可得出$AB^{2}+BE^{2}=CE^{2}+DC^{2}$,即$3^{2}+x^{2}=(8-x)^{2}+5^{2}$,解得$x=5$,所以$BE=5$,$CE=3$,所以$AB+BE=CE+DC$,$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle DCE}$.因为$S_{四边形ABEF}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AEF}$,$S_{四边形DCEF}=S_{\triangle DEF}+S_{\triangle DCE}$,所以$S_{四边形ABEF}=S_{四边形DCEF}$,$AF+AB+BE=DF+EC+DC$,所以直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”.