《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

三、解答题(共50分)
11 解方程组:
(1)$\begin{cases}3x + 2y = 8,\\4x - 5y = 3;\end{cases} $ (2)$\begin{cases}z = x + y,\\x + y + z = 6,\\x - y = 3.\end{cases} $

答案：
(1){x=2,y=1.【解】
(1){3x+2y=8,①4x-5y=3,②①×5+②×2,得23x=46,解得x=2.把x=2代入①,得y=1,所以原方程组的解是{x=2,y=1.
(2){x=3,y=0,z=3.【解】
(2)将①代入②,得x+y+x+y=6,即x+y=3.④③+④,得2x=6,解得x=3.将x=3代入④,得y=0.将x=3,y=0代入①,得z=3.所以原方程组的解为{x=3,y=0,z=3.

12 [2024浙江杭州期末]已知关于x,y的方程组$\begin{cases}nx + (n + 1)y = n + 2,\\x - 2y + mx = - 5\end{cases} $(m,n是常数).
(1)当$n = 1$时,方程组可化为$\begin{cases}x + 2y = 3,\\x - 2y + mx = - 5.\end{cases} $
①请直接写出方程$x + 2y = 3$的所有非负整数解;
②若该方程组的解也满足方程$x + y = 2$,求m的值.
(2)无论m取何值,方程$x - 2y + mx = - 5$总有一个公共解,你能求出这个公共解吗?
(3)当$n = 3$时,如果方程组有整数解,求整数m的值.

答案： 【解】
(1)①当y=0时,x=3;当y=1时,x=1,所以x+2y=3的所有非负整数解为{x=3,y=0或{x=1,y=1.②由题意可得{x+2y=3,①x+y=2,②①-②,得y=1,将y=1代入②,得x=1,所以方程组的解为{x=1,y=1.将{x=1,y=1代入x-2y+mx=-5中,得1-2+m=-5,解得m=-4.
(2)x-2y+mx=-5变形为(m+1)x-2y=-5,因为无论m取何值,方程总有一个公共解,所以当x=0时,y=5/2,所以{x=0,y=5/2是方程的公共解.
(3)当n=3时,原方程组可化为{3x+4y=5,①x-2y+mx=-5,②②×2,得2x-4y+2mx=-10,③①+③,得5x+2mx=-5,整理得(5+2m)x=-5.因为方程组有整数解,且m是整数,所以5+2m=±1或±5.当5+2m=1时,m=-2,此时方程组的解为{x=-5,y=5;当5+2m=-1时,m=-3,此时方程组的解为{x=5,y=-5/2(不符合题意,舍去);当5+2m=5时,m=0,此时方程组的解为{x=-1,y=2;当5+2m=-5时,m=-5,此时方程组的解为{x=1,y=1/2(不符合题意,舍去).综上所述,m=-2或m=0.

13 [2025广西防城港期末]【综合与实践】某校组织老师和学生外出参加社会实践活动,让同学们运用所学知识策划租车方案:原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满,求参加此次活动的总人数和原计划租用45座客车的数量.
【合作探究】
小聪:“我们可以用二元一次方程组解决这个问题,设外出参加社会实践活动的总人数为x人,原计划租用45座客车的数量为y辆,用含有y的式子表示x,得方程$x = $____.”
小明:“若租用同样数量的60座客车,说明60座客车也是租用y辆,根据多出一辆车,且其余客车恰好坐满,可得坐满的客车数量比y少1,可以表示为____辆,由于每辆车可乘坐60人,所以乘客的总数量为____人,这个数量恰好与参加活动的总人数x相等,也可得一个方程.”
【问题解决】
(1)请按顺序写出小聪和小明分析的结论:____,____,____;
(2)根据上面的合作探究,列出方程组并求出它的解;
(3)已知45座客车每日每辆租金为220元,60座客车每日每辆租金为300元.若租用同一种车,要使每个参加活动的人都有座位,怎样租车更合算?

答案： 【解】
(1)依题意可得x=45y+15,(y-1),60(y-1).故答案为x=45y+15,(y-1),60(y-1).
(2)依题意可列方程组为{x=45y+15,x=60(y-1),解得{x=240,y=5,所以参加此次活动的总人数为240人,原计划租用45座客车的数量为5辆.
(3)若租用45座客车,则240÷45=51/3,即需租6辆才能使每个参加活动的人都有座位,则租车费用为6×220=1320(元);若租用60座客车,则需租240÷60=4(辆),即可使每个参加活动的人都有座位,则租车费用为4×300=1200(元).因为1200＜1320,所以租用4辆60座客车更合算.

14 [2025黑龙江哈尔滨质检]如图,$A(m,0)$,$B(0,n)$,且m,n满足二元一次方程组$\begin{cases}m - n = 1,\\2m - 3n = - 1.\end{cases} $
(1)求A,B两点的坐标;
(2)点$P(t,0)$是线段OA上一点,连接BP,当$\triangle ABP的面积为\frac{9}{2}$时,求t的值;
(3)在(2)的条件下,过点A作直线$l// y$轴,在直线l上有一点M,直线BM交x轴正半轴于点K,在射线BO上是否存在一点N,使$\triangle BPN\cong\triangle PMK$? 若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

答案： 【解】
(1)解方程组{m-n=1,2m-3n=-1,可得{m=4,n=3,所以A(4,0),B(0,3).
(2)由题可知OB=3,AP=4-t,则S△ABP=1/2AP·OB=1/2(4-t)×3=9/2,解得t=1.
(3)存在.因为△BPN≌△PMK,所以BP=PM,BN=PK.因为A(4,0),B(0,3),P(1,0),所以OB=3,OA=4,OP=1,所以PA=OA-OP=3=OB.由题意得,△BOP与△PAM均为直角三角形.在Rt△BOP与Rt△PAM中,{OB=AP,BP=PM,所以Rt△BOP≌Rt△PAM,所以AM=OP=1,所以点M的坐标为(4,1)或(4,-1).设直线BM的表达式为y=kx+b(k≠0),则{3=b,1=4k+b或{3=b,-1=4k+b,解得{k=-1/2,b=3或{k=-1,b=3,所以y=-1/2x+3或y=-x+3,所以易得K点的坐标为(6,0)或(3,0),所以PK=5或PK=2.当PK=5时,BN=5,所以N(0,-2);当PK=2时,BN=2,所以N(0,1).综上,N的坐标为(0,-2)或(0,1).