《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1[中]已知$P(m,n)$为平面内任意整点(横、纵坐标均为整数),且满足$\frac {3}{4}mn+m-n= 0$,则满足条件的点$P$的个数是 ( )

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： D 【解析】因为$\frac{3}{4}$mn+m-n=0,所以$\frac{3}{4}$mn=-m+n.因为 m,n 都为整数,所以 m,n 的整数解为 m=0,n=0 或 m=1,n=4 或 m=2,n=-4 或 m=4,n=-2 或 m=-4,n=-1,所以满足条件的点 P 的个数是 5,故选 D.

2[难]在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(0,a)$,$B(b,12-b)$,$C(2a-3,0)$,$0\lt a\lt b＜12$.若$OB平分\angle AOC$,且$AB= BC$,则$a+b$的值为 ( )

A.9或12
B.9或11
C.10或11
D.10或12

答案： B 【解析】因为点 A(0,a),B(b,12-b),C(2a-3,0),0＜a＜b＜12,所以点 A 在 y 轴正半轴上,点 B 在第一象限,点 C 在 x 轴上.因为 OB 平分∠AOC,所以 b=12-b,所以 b=6.过点 B 作 BH⊥x 轴,BG⊥y 轴,则 BH=BG.因为 AB=BC,所以 Rt△ABG≌Rt△CBH,所以 AG=CH,所以|a-6|=|2a-3-6|,所以 a=3 或 5,所以 a+b=9 或 11,故选 B.

3[2025黑龙江鸡西质检,中]已知点$P(-10,3a+9)$不在任何象限内,则$a$的值为______.

答案： -3 【解析】由题意,得 3a+9=0,解得 a=-3.故答案为-3.

4[2025山东聊城质检,中]如图,点$A,B分别在x$轴、$y$轴上,$OA= OB$,分别以点$A,B$为圆心,以大于$\frac {1}{2}AB$长为半径画弧,两弧交于点$P$.若点$P的坐标为(a,3a-4)$,则$a$的值为______.

答案： 2 【解析】由题意得,点 P 在∠BOA 的平分线上,所以点 P 到 x 轴和 y 轴的距离相等.又因为点 P 的坐标为(a,3a-4),所以 a=3a-4,所以 a=2.故答案为 2.

5[较难]如图,正方形$ABCD的各边分别平行于x轴或y$轴,蚂蚁甲和蚂蚁乙都由点$E(3,0)$出发,同时沿正方形$ABCD$的边做环绕运动,蚂蚁甲按顺时针方向以3个单位长度/秒的速度做匀速运动,蚂蚁乙按逆时针方向以1个单位长度/秒的速度做匀速运动,则两只蚂蚁出发后的第三次相遇点的坐标是______.

答案： (1,-2) 【解析】由题图可知,正方形的边长为 4,故正方形的周长为 16,所以蚂蚁甲和蚂蚁乙第一次相遇所用的时间为 16÷(3+1)=4(秒),蚂蚁乙走的路程为 4 个单位长度,所以此时相遇点的坐标为(1,2).因为蚂蚁甲和蚂蚁乙的速度比为 3:1,所以再经过 4 秒蚂蚁甲和蚂蚁乙第二次相遇,相遇点坐标为(-1,0).第三次相遇时蚂蚁乙又走了 4 秒,路程为 4 个单位长度,此时相遇点坐标为(1,-2).故答案为(1,-2).

6[较难]如图,在平面直角坐标系中,点$A的坐标为(2,0)$,点$B的坐标为(0,1)$,将线段$AB$平移,使其一个端点到$C(3,2)$,则平移后另一个端点的坐标为______.

答案：
(1,3)或(5,1) 【解析】①如图
(1),当 A 平移到点 C 时,因为 C(3,2),A(2,0),B(0,1),所以平移方式为向上平移 2 个单位,向右平移 1 个单位,所以平移后的点 B 坐标为(1,3);②如图
(2),当 B 平移到点 C 时,因为 C(3,2),A(2,0),B(0,1),所以平移方式为向上平移 1 个单位,向右平移 3 个单位,所以平移后的点 A 坐标为(5,1).故答案为(1,3)或(5,1).

7核心素养推理能力[2025河北石家庄期中,较难]综合与实践
【问题情境】在平面直角坐标系$xOy中有不重合的两点A(x_{1},y_{1})和B(x_{2},y_{2})$,小明在学习中发现,若$x_{1}= x_{2}$,则$AB// y$轴,且线段$AB的长度为|y_{1}-y_{2}|$；若$y_{1}= y_{2}$,则$AB// x$轴,且线段$AB的长度为|x_{1}-x_{2}|$.
【应用】
(1)若点$A(-1,1)$,$B(2,1)$,则$AB$的长度为______.
(2)若点$C(1,0)$,$CD// y$轴,且$CD= 2$,则点$D$的坐标为______.
【拓展】我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点$M(x_{1},y_{1})$,$N(x_{2},y_{2})之间的折线距离为d(M,N)= |x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$.例如：图(1)中,点$M(-1,1)与点N(1,-2)之间的折线距离为d(M,N)= |-1-1|+|1-(-2)|= 2+3= 5$.
【解决问题】
(3)如图(2),已知$E(2,0)$,若$F(-1,-2)$,则$d(E,F)= $______.
(4)如图(2),已知$E(2,0)$,$H(1,t)$,若$d(E,H)= 3$,求$t$的值.

答案： 【解】
(1)AB 的长度为|-1-2|=3.故答案为 3.
(2)由 C(1,0),CD//y 轴,可设点 D 的坐标为(1,m).因为 CD=2,所以|0-m|=2,解得 m=±2,所以点 D 的坐标为(1,2)或(1,-2).故答案为(1,2)或(1,-2).
(3)d(E,F)=|2-(-1)|+|0-(-2)|=5.故答案为 5.
(4)因为 E(2,0),H(1,t),d(E,H)=3,所以|2-1|+|0-t|=3,解得 t=±2.