《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1 以二元一次方程$2x + y = -1$的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是 ( )

答案：
D 【解析】以方程2x + y = -1的解为坐标的点组成的图象就是一次函数y = -2x - 1的图象，如图所示，故选D.

2 若点$(2,3)在一次函数y = 2x - 1$的图象上,则方程$2x - y = 1$的一个解为____.

答案：
{x = 2, y = 3}
思路分析： 解一次函数与二元一次方程的思路

【解析】因为点(2, 3)在一次函数y = 2x - 1的图象上，所以{x = 2, y = 3}为方程y = 2x - 1的一个解，即方程2x - y = 1的一个解为{x = 2, y = 3}. 故答案为{x = 2, y = 3}.

3 二元一次方程$x - 2y = 0$的解有无数个,其中一个解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 1,\end{cases} 所以在平面直角坐标系中就可以用点(2,1)$表示它的一个解.
(1)请在下图中的平面直角坐标系中描出点$(2,1)$,再描出三个以方程$x - 2y = 0$的解为坐标的点.
(2)过(1)中的这四个点中的任意两点作直线,你有什么发现? 直接写出结果.
(3)以方程$x - 2y = 0的解为坐标的点的全体叫作方程x - 2y = 0$的图象. 想一想,方程$x - 2y = 0$的图象是什么?

答案：
【解】
(1)(答案不唯一)因为二元一次方程x - 2y = 0的解可以为{x = 1, y = $\frac{1}{2}$}, {x = 3, y = $\frac{3}{2}$}, {x = 4, y = 2}，所以以方程x - 2y = 0的解为坐标的点可以是(1, $\frac{1}{2}$), (3, $\frac{3}{2}$), (4, 2). 它们在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(2)如图，可知四个点在一条直线上.

(3)由原方程，得y = $\frac{x}{2}$. 因为以方程x - 2y = 0的解为坐标的点的全体叫作方程x - 2y = 0的图象，所以方程x - 2y = 0的图象就是正比例函数y = $\frac{x}{2}$的图象. 因为正比例函数y = $\frac{x}{2}$的图象是经过第一、三象限且过原点的一条直线，所以方程x - 2y = 0的图象是经过第一、三象限且过原点的一条直线.

4 如图,直线$l_1:y = x + 2与直线l_2:y = kx + b相交于点P$,则方程组$\begin{cases}y = x + 2,\\y = kx + b\end{cases} $的解是 ( )


A.$\begin{cases}x = 2,\\y = 0\end{cases} $
B.$\begin{cases}x = 1,\\y = 4\end{cases} $
C.$\begin{cases}x = 4,\\y = 2\end{cases} $
D.$\begin{cases}x = 2,\\y = 4\end{cases} $

答案： D 【解析】因为直线y = x + 2经过P(m, 4)，所以4 = m + 2，所以m = 2，所以直线l₁: y = x + 2与直线l₂: y = kx + b相交于点P(2, 4)，所以方程组{y = x + 2, y = kx + b}的解是{x = 2, y = 4}. 故选D.

5 [2025 河北廊坊质检]已知方程组$\begin{cases}2x - y = a,\\x + y = b\end{cases} 的解为\begin{cases}x = -1,\\y = 1,\end{cases} 则直线y = 2x - a与y = -x + b$的交点在 ( )

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： B 【解析】因为方程组{2x - y = a, x + y = b}的解为{x = -1, y = 1}，所以直线y = 2x - a与y = -x + b的交点坐标为(-1, 1). 因为点(-1, 1)在第二象限，所以直线y = 2x - a与y = -x + b的交点在第二象限. 故选B.

6 [2025江苏南通质检]直线$y = ax + 2与直线y = 3x - 2$平行,下列说法不正确的是 ( )

A.$a = 3$
B.直线$y = ax + 2与y = 3x - 2$没有交点
C.方程组$\begin{cases}y = ax + 2,\\y = 3x - 2\end{cases} $无解
D.方程组$\begin{cases}y = ax + 2,\\y = 3x - 2\end{cases} $有无穷多个解

答案： D 【解析】因为直线y = ax + 2与直线y = 3x - 2平行，所以a = 3，两直线没有交点，所以方程组{y = ax + 2, y = 3x - 2}无解，故选项A、B、C正确，选项D错误. 故选D.

7 [2025山东泰安期中]方程组$\begin{cases}ax + y = 3,\\x + by = -1\end{cases} $所对应的一次函数的图象如图所示,则$2a + b$的值为 ( )


A.-5
B.3
C.5
D.-3

答案： A 【解析】由题图得方程组{ax + y = 3, x + by = -1}的解为{x = -2, y = -1}，所以-2a - 1 = 3，-2 - b = -1，解得a = -2，b = -1，所以2a + b = 2×(-2) - 1 = -5. 故选A.