《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1 [2025 河南洛阳期中,中]由关于$x,y的方程组\left\{\begin{array}{l} 2x + m = 1,\\ y - 4 = m\end{array} \right.可得出x与y$的关系是( )

A.$2x - y = 5$
B.$2x + y = 5$
C.$2x + y = -5$
D.$2x - y = -5$

答案： B 【解析】{2x+m=1,①y-4=m,② 把②代入①得2x+y-4=1,整理得2x+y=5. 故选B.

2 [2025 河北邯郸期末,中]已知关于$x,y的方程组\left\{\begin{array}{l} x + 3y = n,\\ 2x + y = n + 1,\end{array} \right.若x,y$的值相等,则$n$的值为( )

A.$-1$
B.$-4$
C.$2$
D.$-2$

答案： B 【解析】因为x,y的值相等,所以原方程组可化为{y+3y=n,2y+y=n+1, 由①得y=14n.③ 把③代入②中得34n=n+1,解得n=-4. 故选B.

3 [中]方程组$\left\{\begin{array}{l} x = y + 5,\\ 2x - y = 5\end{array} \right.的解满足x + y + a = 0$,则$a$的值是( )

A.$5$
B.$-5$
C.$3$
D.$-3$

答案： A 【解析】{x=y+5,①2x-y=5,② 把①代入②,得2(y+5)-y=5,解得y=-5. 把y=-5代入①,得x=0. 把y=-5,x=0代入x+y+a=0,得a=5. 故选A.

4 [中]若关于$x,y的方程组\left\{\begin{array}{l} x + ay + 1 = 0,\\ bx - 2y + a = 0\end{array} \right.$没有实数解,则( )

A.$ab = -2$
B.$ab = -2且a ≠ 1$
C.$ab ≠ -2$
D.$ab = -2且a ≠ 2$

答案： A 【解析】{x+ay+1=0,①bx-2y+a=0,② 由①得x=-1-ay,③ 将③代入②,得b(-1-ay)-2y+a=0,即(-ab-2)y=b-a. 因为此方程组没有实数解,所以-ab-2=0,则ab=-2.

5 [2024 四川内江期末,中]关于$x,y的二元一次方程组\left\{\begin{array}{l} 2x + y = 3a,\\ x - 2y = 9a\end{array} \right.的解是二元一次方程x + 3y = 24$的一个解,则$a$的值是( )

A.$-4$
B.$-2$
C.$2$
D.$4$

答案： A 【解析】{2x+y=3a,①x-2y=9a,② 由②得x=9a+2y,③ 把③代入①得18a+5y=3a,解得y=-3a. 把y=-3a代入③得x=3a,所以原方程组的解为{x=3a,y=-3a. 因为关于x,y的二元一次方程组{2x+y=3a,x-2y=9a 的解是二元一次方程x+3y=24的一个解,所以3a-9a=24,所以a=-4,故选A.

6 [中]规定$\begin{vmatrix} a&c\\ b&d\end{vmatrix} = ad - bc$,如$\begin{vmatrix} 2&-1\\ 3&1\end{vmatrix} = 2×1 - 3×(-1) = 5$.若$x,y同时满足\begin{vmatrix} 3&-1\\ y&x\end{vmatrix} = 17$,$\begin{vmatrix} 1&2\\ x&y\end{vmatrix} = -3$,则$x,y$的值为( )

A.$\left\{\begin{array}{l} x = 4,\\ y = -5\end{array} \right.$
B.$\left\{\begin{array}{l} x = -4,\\ y = -5\end{array} \right.$
C.$\left\{\begin{array}{l} x = 4,\\ y = 5\end{array} \right.$
D.$\left\{\begin{array}{l} x = 5,\\ y = 4\end{array} \right.$

答案： C 【解析】因为|3 -1y x|=3x+y=17,|1 2x y|=y-2x=-3,所以{3x+y=17,①y-2x=-3.② 由②得y=2x-3,③ 把③代入①,得3x+2x-3=17,解得x=4. 把x=4代入③,得y=2×4-3=5,所以{x=4,y=5. 故选C.

7 [中]两位同学在解方程组时,甲同学由$\left\{\begin{array}{l} ax + by = 2,\\ cx - y = -4\end{array} \right.正确地解出\left\{\begin{array}{l} x = 3,\\ y = -2,\end{array} \right.乙同学因把c写错了解得\left\{\begin{array}{l} x = -2,\\ y = 2,\end{array} \right.则a + b + c$的值为( )

A.$3$
B.$0$
C.$1$
D.$7$

答案： D 【解析】把{x=3,y=-2 代入方程组得{3a-2b=2,3c+2=-4; 把{x=-2,y=2 代入ax+by=2,得-2a+2b=2,即-a+b=1,联立得{3a-2b=2,-a+b=1, 解得{a=4,b=5. 由3c+2=-4,得c=-2,则a+b+c=4+5-2=7.

8 [2024 山东威海期末,中]若关于$x,y的二元一次方程组\left\{\begin{array}{l} ax - y = 4,\\ x - 3y = 3\end{array} \right.$无解,则$a$的值为______.

答案： 13 【解析】{ax-y=4,①x-3y=3,② 由②得x=3+3y,③ 把③代入①得a(3+3y)-y=4,整理得(3a-1)·y=4-3a. 因为方程组无解,所以3a-1=0,所以a=13. 故答案为13.

9 [较难]已知实数$a,b满足2021a + 2020b = 3$,$2a + b = 1$,则$\frac{a}{b}$的值为______.

答案： -20172015 【解析】联立得{2021a+2020b=3,①2a+b=1,② 由②得b=1-2a,③ 把③代入①,得2021a+2020(1-2a)=3,去括号,得2021a+2020-4040a=3,移项、合并同类项,得-2019a=-2017,解得a=20172019. 把a=20172019代入③,得b=1-40342019=-20152019,则ab=-20172015.

10 [2025 北京昌平区期末,较难]小明为了方便探究关于$x,y的二元一次方程ax + by = 9(a ≠ 0,b ≠ 0)$的解的规律,把$x和y$的部分值填入下表.
| $x$ | $-7$ | $-4$ | $0$ | $2$ | $8$ |
| $y$ | $10$ | $7$ | $p$ | $1$ | $-5$ |
(1)$p$的值为______.
(2)下列方程中,与$ax + by = 9$组成方程组,在$-7 ＜ x ＜ 8$范围内有解的是______.(填正确的序号)
①$2x + y = -5$；②$x + 2y = -4$；③$3x - y = 1$.
(3)已知关于$x,y的二元一次方程cx + dy = 1(c ≠ 0,d ≠ 0)$的部分解如下表所示.
| $x$ | $-7$ | …$$ | $0$ | …$$ | $8$ |
| $y$ | $-2$ | …$$ | $q$ | …$$ | $13$ |
求关于$x,y的方程组\left\{\begin{array}{l} ax + by = 9,\\ cx + dy = 1\end{array} \right.$的解.

答案： 【解】
(1)由题意得{-4a+7b=9,2a+b=9, 解得{a=3,b=3, 则原方程为3x+3y=9,即y=3-x. 当x=0时,y=3-0=3,即p=3. 故答案为3.
(2)由
(1)得x+y=3. 方程组{x+y=3,2x+y=-5 的解为{x=-8,y=11, 故①不符合题意. 方程组{x+y=3,x+2y=-4 的解为{x=10,y=-7, 故②不符合题意. 方程组{x+y=3,3x-y=1 的解为{x=1,y=2, 故③符合题意. 故答案为③.
(3)把x=-7,y=-2和x=8,y=13代入cx+dy=1,得{-7c-2d=1,8c+13d=1, 解得{c=-15,d=15, 所以cx+dy=1可化为-15x+15y=1,即y-x=5,所以原方程组变为{x+y=3,y-x=5, 解得{x=-1,y=4. 故方程组{x+y=3,y-x=5 的解为{x=-1,y=4.