《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1 [2023 江苏南通中考,中] 若实数 $x$,$y$,$m$ 满足 $x + y + m = 6$,$3x - y + m = 4$,则代数式 $-2xy + 1$ 的值可以是( )

A.3
B.$\frac{5}{2}$
C.2
D.$\frac{3}{2}$

答案： D 【解析】由题意可得$\left\{\begin{array}{l} x+y=6-m,\\ 3x-y=4-m,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=\frac {5-m}{2},\\ y=\frac {7-m}{2},\end{array}\right. $则$-2xy+1=-2×\frac {5-m}{2}×\frac {7-m}{2}+1=-\frac {(5-m)(7-m)}{2}+1=-\frac {m^{2}-12m+35}{2}+1=-\frac {(m^{2}-12m+36)-1}{2}+1=-\frac {(m-6)^{2}}{2}+\frac {3}{2}≤\frac {3}{2}$.因为$3＞\frac {5}{2}＞2＞\frac {3}{2}$,所以 A,B,C 选项不符合题意,D 选项符合题意,故选 D.

2 [2025 福建泉州期末,中] 已知 $x_1$,$x_2$,$x_3$,…$$,$x_{55}$ 中每一个数值只能取 $2$,$0$,$-1$ 中的一个,且满足 $x_1 + x_2 + … + x_{55} = -19$,$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + … + x_{55}^2 = 55$,则 $x_1$,$x_2$,$x_3$,…$$,$x_{55}$ 中 $0$ 的个数是( )

A.20
B.19
C.18
D.17

答案： C 【解析】设共有a个2,b个-1.由题意得$\left\{\begin{array}{l} 2a-b=-19,\\ 4a+b=55,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=6,\\ b=31.\end{array}\right. $因为$55-6-31=18$,所以0的个数为18.故选 C.

3 [2025 河南驻马店调研,中] 在解关于 $x$,$y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l} (m + 1)x - ny = 8,\enclose{circle}{1}\\ nx + my = 11\enclose{circle}{2}\end{array} \right.$ 时,可以用 $\enclose{circle}{1}×2 + \enclose{circle}{2}$ 消去未知数 $x$,也可以用 $\enclose{circle}{1} + \enclose{circle}{2}×5$ 消去未知数 $y$,则 $m - n$ 的值为( )

A.4
B.$-\frac{8}{3}$
C.$-\frac{6}{7}$
D.$\frac{8}{7}$

答案： D 【解析】由题可知,①×2+②,得$(2m+2+n)x+(m-2n)y=27$.因为可以用①×2+②消去未知数x,所以$2m+2+n=0$,即$2m+n=-2$.③ ①+②×5,得$(m+1+5n)x+(5m-n)y=63$.因为可以用①+②×5 消去未知数 y,所以$5m-n=0$.④ 联立③④,得$\left\{\begin{array}{l} 2m+n=-2,\\ 5m-n=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=-\frac {2}{7},\\ n=-\frac {10}{7},\end{array}\right. $所以$m-n=-\frac {2}{7}-(-\frac {10}{7})=\frac {8}{7}$.故选 D.

4 [2024 浙江杭州滨江区期末,中] 已知关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{l} x + 3y = 4 - a,\\ x - y = 3a,\end{array} \right.$ 下列结论中正确的是( )
①当这个方程组的解 $x$,$y$ 的值互为相反数时,$a = -2$；②当 $a = 1$ 时,方程组的解也是方程 $x + y = 4 + 2a$ 的解；③无论 $a$ 取什么实数,$x + 2y$ 的值始终不变；④若用 $x$ 表示 $y$,则 $y = -\frac{x}{2} + \frac{3}{2}$。

A.①②
B.②③
C.①③④
D.②③④

答案： C 【解析】把两个方程相加得$2x+2y=4+2a$,所以$x+y=2+a$.①当这个方程组的解x,y的值互为相反数时,$x+y=0$,所以$2+a=0$,所以$a=-2$,故结论①正确;②因为原方程组的解满足$x+y=2+a$,所以当$a=1$时,$x+y=3$,而当$a=1$时,方程$x+y=4+2a$的解满足$x+y=6$,故结论②不正确;③$\left\{\begin{array}{l} x+3y=4-a,\\ x-y=3a,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=2a+1,\\ y=1-a,\end{array}\right. $所以$x+2y=2a+1+2-2a=3$,所以无论a取什么实数,$x+2y$的值始终不变,故结论③正确;④$\left\{\begin{array}{l} x+3y=4-a,\\ x-y=3a,\end{array}\right. $由第1个方程得$a=4-x-3y$,将$a=4-x-3y$代入第2个方程得$x-y=3(4-x-3y)$,解得$y=-\frac {x}{2}+\frac {3}{2}$,故结论④正确.所以结论中正确的是①③④,故选 C.

5 [中] 若关于 $x$,$y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l} x - y = 1,\\ by + ax = 5\end{array} \right.$ 与 $\left\{\begin{array}{l} x + y = 7,\\ bx + ay = 2\end{array} \right.$ 的解相同,则 $a + b$ 的值为( )

A.1
B.2
C.-1
D.0

答案： A 【解析】联立得$\left\{\begin{array}{l} x-y=1,\\ x+y=7,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=3.\end{array}\right. $代入另外两个方程得$\left\{\begin{array}{l} 3b+4a=5,①\\ 4b+3a=2,②\end{array}\right. $①+②,得$7a+7b=7$,所以$a+b=1$.故选 A.

6 [2024 河南周口期中,中] 已知 $m$ 为负整数,关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{l} mx + 2y = 10,\\ 3x + 2y = 0\end{array} \right.$ 有整数解,则 $m$ 的值为____。

答案： -2 【解析】解方程组$\left\{\begin{array}{l} mx+2y=10,\\ 3x+2y=0\end{array}\right. $可得$\left\{\begin{array}{l} x=\frac {10}{m-3},\\ y=-\frac {15}{m-3}.\end{array}\right. $因为方程组$\left\{\begin{array}{l} mx+2y=10,\\ 3x+2y=0\end{array}\right. $有整数解,所以$m-3$为10和15的公约数,且m为负整数,所以$m-3=-5$,解得$m=-2$,故答案为-2.

7 [中] 甲、乙两人都解方程组 $\left\{\begin{array}{l} ax + y = 2,\\ 2x - by = 1,\end{array} \right.$ 甲看错 $a$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} x = 1,\\ y = 2,\end{array} \right.$ 乙看错 $b$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} x = 1,\\ y = 1,\end{array} \right.$ 则方程组正确的解是____。

答案： $\left\{\begin{array}{l} x=\frac {4}{5},\\ y=\frac {6}{5}\end{array}\right. $【解析】由题意,将$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=2\end{array}\right. $代入$2x-by=1$,得$2×1-2b=1$,解得$b=\frac {1}{2}$;将$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=1\end{array}\right. $代入$ax+y=2$,得$a×1+1=2$,解得$a=1$,所以原方程组为$\left\{\begin{array}{l} x+y=2,①\\ 2x-\frac {1}{2}y=1,②\end{array}\right. $②×2,得$4x-y=2$,③ ①+③,得$5x=4$,解得$x=\frac {4}{5}$.把$x=\frac {4}{5}$代入①,得$\frac {4}{5}+y=2$,解得$y=\frac {6}{5}$,所以方程组正确的解为$\left\{\begin{array}{l} x=\frac {4}{5},\\ y=\frac {6}{5}.\end{array}\right. $

8 [2024 湖南长沙质检,中] 若方程组 $\left\{\begin{array}{l} ax + y = b,\\ cx - y = d\end{array} \right.$ 的解是 $\left\{\begin{array}{l} x = 1,\\ y = -1,\end{array} \right.$ 则方程组 $\left\{\begin{array}{l} ax + y = a - b,\\ cx - y = c - d\end{array} \right.$ 的解是____。

答案： $\left\{\begin{array}{l} x=0,\\ y=1\end{array}\right. $【解析】因为方程组$\left\{\begin{array}{l} ax+y=b,\\ cx-y=d\end{array}\right. $的解是$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=-1,\end{array}\right. $所以$\left\{\begin{array}{l} a-1=b,\\ c+1=d,\end{array}\right. $所以$a-b=1,c-d=-1$,所以方程组$\left\{\begin{array}{l} ax+y=a-b,\\ cx-y=c-d\end{array}\right. $可化为$\left\{\begin{array}{l} ax+y=1,①\\ cx-y=-1,②\end{array}\right. $①+②得$(a+c)x=0$,由方程组$\left\{\begin{array}{l} ax+y=b,\\ cx-y=d\end{array}\right. $的解是$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=-1\end{array}\right. $可知$a+c≠0$,所以解$(a+c)x=0$,得$x=0$.把$x=0$代入$ax+y=1$,得$y=1$,所以方程组$\left\{\begin{array}{l} ax+y=a-b,\\ cx-y=c-d\end{array}\right. $的解是$\left\{\begin{array}{l} x=0,\\ y=1,\end{array}\right. $故答案为$\left\{\begin{array}{l} x=0,\\ y=1.\end{array}\right. $

9 [2024 河南洛阳质检,中] 已知关于 $x$,$y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l} x - y = 4a - 3,\\ x + 2y = -5a.\end{array} \right.$
(1) 当 $a = 0$ 时,该方程组的解是____。
(2) $x$ 与 $y$ 的数量关系是____(不含字母 $a$)。
(3) 是否存在有理数 $a$,使得 $|x + 3| + y^2 = 0$？请说明理由。

答案： 【解】
(1)把$a=0$代入方程组得$\left\{\begin{array}{l} x-y=-3,①\\ x+2y=0,②\end{array}\right. $②-①得$3y=3$,解得$y=1$.把$y=1$代入①得$x-1=-3$,解得$x=-2$,则方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=1.\end{array}\right. $故答案为$\left\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=1.\end{array}\right.$
(2)方程组$\left\{\begin{array}{l} x-y=4a-3,③\\ x+2y=-5a,\enclose{circle} {4}\end{array}\right. $④-③得$3y=-9a+3$,解得$y=-3a+1$,⑤ 把⑤代入③得$x-(-3a+1)=4a-3$,解得$x=a-2$,即$a=x+2$,把$a=x+2$代入⑤得$y=-3(x+2)+1$,整理得$3x+y=-5$.故答案为$3x+y=-5$.
(3)不存在有理数a,使得$|x+3|+y^{2}=0$.理由如下:因为$|x+3|+y^{2}=0$,所以$x+3=0,y=0$,解得$x=-3,y=0$,代入原方程组得$-3=4a-3,-3=-5a$,解得$a=0$且$a=\frac {3}{5}$,矛盾,则不存在有理数a,使得$|x+3|+y^{2}=0.$

10 [2025 湖北黄石期末,中] 已知关于 $x$,$y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l} x + 2y - 6 = 0,\\ x - 2y + mx + 5 = 0.\end{array} \right.$
(1) 请写出方程 $x + 2y - 6 = 0$ 的所有正整数解。
(2) 若方程组的解满足 $x + y = 0$,求 $m$ 的值。
(3) 无论实数 $m$ 取何值,方程 $x - 2y + mx + 5 = 0$ 总有一个固定的解,请写出这个解。
(4) 若方程组的解中 $x$ 恰为整数,$m$ 也为整数,求 $m$ 的值。

答案： 【解】
(1)由方程$x+2y-6=0$,得$x=6-2y$.当$y=1$时,$x=4$;当$y=2$时,$x=2$,所以方程$x+2y-6=0$的所有正整数解为$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=2,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=1.\end{array}\right.$
(2)由题意得$\left\{\begin{array}{l} x+y=0,\\ x+2y-6=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=-6,\\ y=6.\end{array}\right. $把$\left\{\begin{array}{l} x=-6,\\ y=6\end{array}\right. $代入$x-2y+mx+5=0$,解得$m=-\frac {13}{6}.$
(3)$x-2y+mx+5=0$,所以$(1+m)x-2y=-5$.由题意得$x=0$,所以$y=2.5$,即固定的解为$\left\{\begin{array}{l} x=0,\\ y=2.5\end{array}\right.$
(4)$\left\{\begin{array}{l} x+2y-6=0,①\\ x-2y+mx+5=0,②\end{array}\right. $①+②,得$2x-6+mx+5=0$,所以$(2+m)x=1$.因为x恰为整数,m也为整数,所以$2+m=1$或-1,所以$m=-1$或-3.