《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1 [中]在平面直角坐标系中,已知点 A 与点 B 关于 x 轴对称,点 B 与点 C 关于 y 轴对称,点 A 的坐标为(-1,2),则点 C 的坐标为 ( )

A.(-1,2)
B.(1,-2)
C.(-1,-2)
D.(2,-1)

答案： B　[解析]
$\begin{cases}A(-1,2)\xlongequal{关于x轴对称}B(-1,-2)\xlongequal{关于y轴对称}C(1,-2)\end{cases}$
故选B.

2 [较难]如图,在平面直角坐标系中,对△ABC 进行循环往复的轴对称变换,若原来点 A 坐标是(1,2),则经过第 2021 次变换后点 A 的对应点的坐标为 ( )

A.(1,-2)
B.(-1,-2)
C.(-1,2)
D.(1,2)

答案： C　[解析]点A第1次关于y轴对称后在第二象限，点A第2次关于x轴对称后在第三象限，点A第3次关于y轴对称后在第四象限，点A第4次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以每4次对称为一个循环组，依次循环.因为2021÷4 = 505……1，所以点A经过第2021次变换后的位置与第1次变换后的位置相同，在第二象限，坐标为(−1,2).故选C.

3 [2024 吉林松原质检,中]如图,在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形,其中点 A(-6,6)的对称点 A'坐标为(0,6),点 M(m,n)为图形上的一点,则点 M 在图形上的对称点坐标为____.

答案： (−6−m,n)　[解析]因为点A(−6,6)的对称点A'坐标为(0,6)，所以该图形对称轴为直线x = −3.设点M在图形上的对称点坐标为(m',n')，所以$\frac{m + m'}{2}=-3$，n' = n，所以m' = −6−m，所以点M在图形上的对称点坐标为(−6−m,n).故答案为(−6−m,n).

4 [2024 河南许昌质检,中]如图,已知平面直角坐标系中的两点 A(0,4),B(1,0),P 为线段 AB 上一动点(不与点 A,B 重合),作点 B 关于射线 OP 的对称点 C,则线段 AC 长度的取值范围是____.

答案：
3≤AC＜$\sqrt{17}$　[解析]如图，连接OC.因为A(0,4)，B(1,0)，所以OA = 4，OB = 1，所以$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{17}$.因为C是点B关于射线OP的对称点，所以OC = OB = 1.因为OA - OC≤AC，所以AC≥3.因为P为线段AB上一动点(不与点A，B重合)，所以线段AC长度的取值范围是3≤AC＜$\sqrt{17}$.故答案为3≤AC＜$\sqrt{17}$.

5 [2025 黑龙江哈尔滨质检,中]如图,在平面直角坐标系中,直线 l 为第一、三象限的角平分线.点 P 关于 y 轴的对称点为 P 的一次反射点,记为$ P_1,$点$ P_1 $关于直线 l 的对称点称为点 P 的二次反射点,记为$ P_2. $例如,点(-1,2)的一次反射点为(2,1),二次反射点为(2,1).根据定义,回答下列问题：
(1)点(3,-4)的一次反射点为____,二次反射点为____；
(2)若 P(m + 1,2n - 1)的一次反射点和 Q(-3,4)的二次反射点重合,求 m + n 的值.

答案： [解]
(1)根据题意，可得点(3,−4)的一次反射点为(−3,−4)，二次反射点为(−4,−3).故答案为(−3,−4)，(−4,−3).
(2)因为P(m + 1,2n - 1)，所以P的一次反射点为(−m - 1,2n - 1).因为Q(−3,4)，所以Q的一次反射点为(3,4)，Q的二次反射点为(4,3).因为P(m + 1,2n - 1)的一次反射点和Q(−3,4)的二次反射点重合，所以−m - 1 = 4，2n - 1 = 3，所以m = −5，n = 2，所以m + n = −5 + 2 = −3.

6 [2024 广东佛山顺德区期中,中]如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别为(2,8)和(6,0),C 是 y 轴上的一个动点,且 A,B,C 三点不在同一条直线上.
(1)求 AB 的长；
(2)求△ABC 的周长的最小值.

答案：
[解]
(1)过点A作AD⊥OB于D，如图，则∠ADB = 90°.因为点A，B的坐标分别为(2,8)和(6,0)，所以OD = 2，AD = 8，OB = 6，所以BD = 4，所以$AB=\sqrt{AD^{2}+DB^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{5}$.
(2)因为AB长度一定，所以要使△ABC的周长最小，需AC + BC的值最小.作A关于y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点C'，过点A'作A'E⊥x轴于点E，连接A'C，如图.因为AC + BC = A'C + BC≥A'B，所以当A'，C，B三点共线，即C与C'重合时，△ABC的周长最小，最小值为A'B + AB的值.由轴对称的性质得A'(−2,8)，所以E(−2,0).在Rt△A'EB中，A'E = 8，EB = 8，所以$A'B=\sqrt{8^{2}+8^{2}} = 8\sqrt{2}$，所以△ABC的周长的最小值为A'B + AB = 8$\sqrt{2}+4\sqrt{5}$.

7 核心素养 几何直观 [难]已知三点 A(1,2),B(1,3),C(0,6),点 P 为 y 轴上一动点.
(1)在图中找到点 P,使得△OAP 与△CBP 周长的和取得最小值,此时点 P 的坐标应为____；
(2)当∠APB = 40°时,∠OAP + ∠PBC 的度数为____.

答案：

(1)$(0,\frac{5}{2})$　[解析]
(1)如图
(1)，因为A(1,2)，B(1,3)，C(0,6)，所以OA，BC是定长，所以当点P在线段OC上时，△OAP与△CBP周长的和取得最小值.因为OP + PC = OC = 6，所以△OAP与△CBP周长的和为OA + AP + OP + PC + BC + BP = OA + BC + OC + AP + BP，所以当AP + BP的值最小时,△OAP与△CBP周长的和取得最小值.作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B，则A'B与y轴的交点即为所求的点P.易得A'(−1,2)，P是A'B的中点，所以$P(\frac{-1 + 1}{2},\frac{2 + 3}{2})$，即$P(0,\frac{5}{2})$.故答案为$(0,\frac{5}{2})$.
(2)175°　[解析]
(2)如图
(2)，过点B作BD⊥OC于D，作点A关于y轴的对称点A'，AA'交y轴于点E，连接A'B，OA'，OB，AB.因为CD = OD = 3，所以BC = OB，所以∠BCO = ∠BOC.由轴对称的性质得OA = OA'，∠OAE = ∠OA'E，∠AOE = ∠A'OE.因为AB = AE = 1，AA' = OE = 2，∠BAA' = ∠AEO = 90°，所以△A'AB≌△OEA(SAS)，所以∠BA'A = ∠AOE，A'B = OA = OA'.因为∠AOE + ∠OAE = 90°，所以∠OA'E + ∠AA'B = 90°，即∠BA'O = 90°.因为A'B = OA = OA'，所以△OA'B是等腰直角三角形，∠BOA' = 45°，所以∠BOD + ∠A'OE = ∠BCD + ∠AOE = 45°.因为∠APB = 40°，所以∠ABP + ∠BAP = 140°，所以∠OAP + ∠PBC = 360° - 140° - 45° = 175°.故答案为175°.