《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1 [中]设$\sqrt { 7 } = a$,$\sqrt { 11 } = b$,则$\sqrt { 7 } × \sqrt { 0.11 }$可以表示为( )

A.$\frac { a b } { 100 }$
B.$10 a b$
C.$\frac { 10 } { a b }$
D.$\frac { a b } { 10 }$

答案： D 【解析】$\sqrt{7}×\sqrt{0.11}=\sqrt{7}×\sqrt{\dfrac{11}{100}}=\sqrt{7}×\sqrt{11}×\sqrt{\dfrac{1}{100}}=\dfrac{1}{10}×\sqrt{7}×\sqrt{11}$. 因为$\sqrt{7}=a$，$\sqrt{11}=b$，所以原式$=\dfrac{ab}{10}$. 故选 D.

2 [2025浙江湖州调研,中]已知二次根式$\sqrt { 23 - a }与\sqrt { 8 }$化简成最简二次根式后,被开方数相同,若$a$是正整数,则$a$的最小值为( )

A.$23$
B.$21$
C.$15$
D.$5$

答案： D 【解析】因为二次根式$\sqrt{23 - a}$与$\sqrt{8}$化简成最简二次根式后，被开方数相同，且$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，所以当$23 - a=2$时，$a = 21$；当$23 - a=8$时，$a = 15$；当$23 - a=18$时，$a = 5$；当$23 - a=32$时，$a=-9$（不符合题意，舍）. 综上，符合条件的正整数$a$的值为 5，15，21，所以$a$的最小值为 5. 故选 D.

3 [2025山东枣庄质检,中]如图,实数$m在数轴上对应的点M到原点的距离为5$.下列各数所对应的点中,与点$M$最接近的是( )


A.$- 4 \sqrt { 2 }$
B.$- 3 \sqrt { 2 }$
C.$- 2 \sqrt { 2 }$
D.$- \sqrt { 2 }$

答案： A 【解析】由题意可知，$m=-5=-\sqrt{25}$. 因为$-4\sqrt{2}=-\sqrt{32}$，$-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}$，$-2\sqrt{2}=-\sqrt{8}$，所以$-\sqrt{32}＜-5＜-\sqrt{18}＜-\sqrt{8}$. 因为$|-\sqrt{32}+5|-|-5+\sqrt{18}|=\sqrt{32}-5 - 5+\sqrt{18}=7\sqrt{2}-10=\sqrt{98}-\sqrt{100}＜0$，所以数轴上点$M$与数$-4\sqrt{2}$所对应的点的距离小于点$M$与数$-3\sqrt{2}$所对应的点的距离，即数$-4\sqrt{2}$所对应的点与点$M$最接近，故选 A.

4 [2025四川南充质检,中]若$a$是正整数,$\sqrt { 3 a + 6 }$是最简二次根式,则$a$最小为______.

答案： 3 【解析】因为$a$是正整数，$\sqrt{3a + 6}$是最简二次根式，$\sqrt{3a + 6}=\sqrt{3(a + 2)}$，所以$a$最小为 3. 故答案为 3.

5 [2025青海西宁期末,较难]将图(1)中的长方形分成$B$,$C$两部分,恰与正方形$A$拼接成如图(2)的大正方形.如果正方形$A的面积为2$,拼接后的大正方形的面积是$5$,则图(1)中长方形的长是______.

答案： $\sqrt{2}+\sqrt{5}$ 【解析】设长方形$C$的长为$x$，宽为$y$，则正方形$A$的边长为$x$，长方形$B$的长为$x + y$，宽为$y$. 因为正方形$A$的面积为 2，所以$x=\sqrt{2}$. 因为拼接后的大正方形的面积是 5，所以$x + y=\sqrt{5}$，所以$y=\sqrt{5}-\sqrt{2}$，所以题图（1）中原长方形的长为$x + x + y=2x + y=2\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{5}$. 故答案为$\sqrt{2}+\sqrt{5}$.

6 [2025湖南衡阳调研,中]已知$y = \sqrt { ( x - 4 ) ^ { 2 } } - x + 5$,当$x分别取1$,$2$,$3$,…$$,$2024$时,所对应$y$值的总和是______.

答案： 2036 【解析】$y=\sqrt{(x - 4)^{2}}-x + 5=|x - 4|-x + 5$，当$x - 4＜0$时，$y=4 - x - x + 5=9 - 2x$；当$x - 4\geqslant0$时，$y=x - 4 - x + 5=1$. 当$x = 1$时，$y=9 - 2=7$；当$x = 2$时，$y=9 - 4=5$；当$x = 3$时，$y=9 - 6=3$，所以当$x$分别取 1，2,3，$\cdots$，2024 时，所对应的$y$值的总和是$7 + 5 + 3+2021×1=2036$. 故答案为 2036.

7 [2025山西吕梁期中,中]如图,一只蚂蚁从点$A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B$,点$C与点B$关于原点对称,若$A$,$B$,$C三点对应的数分别为a$,$b$,$c$,$a = - \sqrt { 2 }$.
(1)填空：$b = $______,$c = $______,$b c + 6 = $______；
(2)化简：$\sqrt { ( a - 1 ) ^ { 2 } } + \sqrt { ( b - 1 ) ^ { 2 } } + \sqrt { ( c - 1 ) ^ { 2 } }$.

答案： 【解】（1）$-\sqrt{2}+2$，$\sqrt{2}-2$，$4\sqrt{2}$；（2）原式$=|a -1|+|b -1|+|c -1|=|-\sqrt{2}-1|+|-\sqrt{2}+2 -1|+|\sqrt{2}-2 -1|=\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1 + 3-\sqrt{2}=3+\sqrt{2}$.

8 [2025北京延庆区期中,较难]阅读材料：
小明在学习了二次根式后,发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3 + 2 \sqrt { 2 } = ( 1 + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$,这样就可以将$\sqrt { 3 + 2 \sqrt { 2 } }$进行化简,即$\sqrt { 3 + 2 \sqrt { 2 } } = \sqrt { ( 1 + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } = 1 + \sqrt { 2 }$.
善于思考的小明进行了以下探索：
对于$a + 2 \sqrt { b }$,若能找到两个数$m和n$,使$m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = a$,且$m n = \sqrt { b }$,则$a + 2 \sqrt { b }可变形为m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + 2 m n$,即$( m + n ) ^ { 2 }$,从而使得$\sqrt { a + 2 \sqrt { b } } = \sqrt { ( m + n ) ^ { 2 } } = m + n$.(其中$a$,$b$,$m$,$n$均为正数)
例如：因为$4 + 2 \sqrt { 3 } = 1 + 3 + 2 \sqrt { 3 } = ( \sqrt { 1 } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + 2 \sqrt { 3 } = ( 1 + \sqrt { 3 } ) ^ { 2 }$,
所以$\sqrt { 4 + 2 \sqrt { 3 } } = \sqrt { ( 1 + \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } = 1 + \sqrt { 3 }$.
请你参考小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简：$\sqrt { 5 + 2 \sqrt { 6 } }$；
(2)化简：$\sqrt { 7 - 4 \sqrt { 3 } }$；
(3)若$\sqrt { a ^ { 2 } + 4 \sqrt { 5 } } = b + \sqrt { 5 }$,其中$a$,$b$都是整数,求$a$的值.

答案： 【解】（1）原式$=\sqrt{3 + 2\sqrt{6}+2}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$；（2）原式$=\sqrt{4 - 4\sqrt{3}+3}=\sqrt{2^{2}-2×2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}=2-\sqrt{3}$；（3）因为$\sqrt{a^{2}+4\sqrt{5}}=b+\sqrt{5}$，所以$a^{2}+4\sqrt{5}=b^{2}+2\sqrt{5}b + 5$. 因为$a$，$b$都是整数，所以$4\sqrt{5}=2\sqrt{5}b$，解得$b = 2$，所以$a^{2}+4\sqrt{5}=2^{2}+2\sqrt{5}×2 + 5$，解得$a=\pm3$.