《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1[2025辽宁沈阳质检]化简$\frac {-6\sqrt {2}}{\sqrt {27}}$的结果是( )

A.$-\sqrt {6}$
B.$-\frac {1}{3}\sqrt {6}$
C.$-\frac {2}{3}\sqrt {2}$
D.$-\frac {2}{3}\sqrt {6}$

答案： D 【解析】$\frac{-6\sqrt{2}}{\sqrt{27}}=\frac{-6\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{-6\sqrt{2}×\sqrt{3}}{3\sqrt{3}×\sqrt{3}}=$$\frac{-6\sqrt{6}}{3×3}=-\frac{2}{3}\sqrt{6}$. 故选 D.

2[2025上海宝山区期中]已知$m= \sqrt {3}+1,n= \frac {2}{\sqrt {3}-1}$,则m和n的关系为( )

A.$m= n$
B.$mn= 1$
C.$m= -n$
D.$mn= -1$

答案： A 【解析】因为$m=\sqrt{3}+1$,$n=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=$$\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\sqrt{3}+1$,所以$m=n$. 故选 A.

3[2025安徽滁州调研]下列各个数中,与$\sqrt {5}-2$互为倒数的是( )

A.$\sqrt {5}+2$
B.$-\sqrt {5}-2$
C.$2\sqrt {5}+2$
D.$\sqrt {5}+2\sqrt {2}$

答案： A 【解析】$\sqrt{5}-2$的倒数是$\frac{1}{\sqrt{5}-2}=$$\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$. 故选 A.

4[2025四川甘孜州质检]分母有理化:$\frac {1}{2\sqrt {3}-3\sqrt {2}}= $____.

答案： $-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}$【解析】$\frac{1}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}=$$\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(2\sqrt{3})^{2}-(3\sqrt{2})^{2}}=$$\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{-6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 故答案为$-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

5[2025河北唐山质检]计算$4\sqrt {\frac {1}{2}}+3\sqrt {\frac {1}{3}}-\sqrt {8}$的结果是( )

A.$\sqrt {3}+\sqrt {2}$
B.$\sqrt {3}$
C.$\frac {\sqrt {3}}{3}$
D.$\sqrt {3}-\sqrt {2}$

答案： B 【解析】原式$=4×\frac{\sqrt{2}}{2}+3×\frac{\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}+$$\sqrt{3}-2\sqrt{2}=\sqrt{3}$. 故选 B.

6[2025重庆渝中区校级期末]如图,将$\triangle ABC$放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1),点A,B,C恰好在格点(小正方形的顶点)上,则$\triangle ABC$中BC边上的高的长度是( )

A.$\frac {7\sqrt {5}}{10}$
B.$\frac {7\sqrt {13}}{13}$
C.$\frac {7\sqrt {17}}{17}$
D.$\frac {14\sqrt {17}}{17}$

答案： D 【解析】根据题图可得$\triangle ABC$的面积为$16-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×2×4=7$,$BC=$$\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}$. 设$\triangle ABC$中$BC$边上的高的长度是$x$,则$\frac{1}{2}BC\cdot x=7$,所以$x=\frac{14\sqrt{17}}{17}$. 故选 D.

7[2025云南曲靖质检]定义：$a\otimes b= \sqrt {a}\cdot \sqrt {b}+\sqrt {\frac {a}{b}}$,则$2\otimes 4= $____.

答案： $\frac{5}{2}\sqrt{2}$【解析】因为$a\otimes b=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{\frac{a}{b}}$,所以$2\otimes4=\sqrt{2}×\sqrt{4}+\sqrt{\frac{2}{4}}=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5}{2}\sqrt{2}$. 故答案为$\frac{5}{2}\sqrt{2}$.

8[2025浙江绍兴期中]计算:
(1)$\sqrt {50}-\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}+3\sqrt {\frac {1}{3}}$;
(2)$\sqrt {18}-4\sqrt {\frac {1}{2}}-\sqrt {24}÷\sqrt {3}$;
(3)$(\sqrt {2}-π)^{0}+|1-2\sqrt {3}|-(\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}})^{-1}$.

答案： 【解】
(1)原式$=5\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+3×$$\frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\sqrt{3}=5\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\sqrt{3}=$$5\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}=6\sqrt{2}$.
(2)原式$=3\sqrt{2}-4×\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{24÷3}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-$$\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}$.
(3)原式$=1+2\sqrt{3}-1-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{6}}{2}$.

9[2025河北秦皇岛质检]设$M= (\sqrt {\frac {1}{ab}}-\sqrt {\frac {a}{b}})\cdot \sqrt {ab}$,其中$a= 4,b= 8$,则M的值为( )

A.2
B.-2
C.3
D.-3

答案： D 【解析】因为$a=4$,$b=8$,所以$M=(\sqrt{\frac{1}{ab}}-$$\sqrt{\frac{a}{b}})\cdot\sqrt{ab}=(\sqrt{\frac{1}{4×8}}-\sqrt{\frac{4}{8}})\cdot\sqrt{4×8}=$$(\sqrt{\frac{1}{32}}-\sqrt{\frac{1}{2}})×\sqrt{32}=\sqrt{\frac{1}{32}×32}-\sqrt{\frac{1}{2}×32}=$$\sqrt{1}-\sqrt{16}=1-4=-3$. 故选 D.

10[2025山西晋中质检]若$x^{2}-x-2= 0$,则$\frac {x^{2}-x+2\sqrt {3}}{(x^{2}-x)^{2}-1+\sqrt {3}}$的值是( )

A.$\frac {2\sqrt {3}}{3}$
B.$\frac {\sqrt {3}}{3}$
C.$\sqrt {3}$
D.$\sqrt {3}或\frac {\sqrt {3}}{3}$

答案： A 【解析】因为$x^{2}-x-2=0$,所以$x^{2}-x=2$,所以$\frac{x^{2}-x+2\sqrt{3}}{(x^{2}-x)^{2}-1+\sqrt{3}}=\frac{2+2\sqrt{3}}{2^{2}-1+\sqrt{3}}=\frac{2+2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=$$\frac{(2+2\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$. 故选 A.

11[2025上海长宁区质检]已知实数x,y满足$x^{2}+y^{2}-4x-2y= -5$,则$\frac {\sqrt {x}+y}{3y-2\sqrt {x}}$的值等于____.

答案： $5\sqrt{2}+7$【解析】因为$x^{2}+y^{2}-4x-2y=-5$,所以$x^{2}-4x+4+y^{2}-2y+1=0$,所以$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=$$0$,所以$x-2=0$,$y-1=0$,解得$x=2$,$y=1$,所以$\frac{\sqrt{x+y}}{3y-2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{2}+1}{3×1-2\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2}+1)×(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})×(3+2\sqrt{2})}=$$5\sqrt{2}+7$. 故答案为$5\sqrt{2}+7$.

12[2025陕西咸阳质检]先化简,再求值:$(\sqrt {2x}+\sqrt {y})(\sqrt {2x}-\sqrt {y})-(\sqrt {2x}-\sqrt {y})^{2}$,其中$x= \frac {3}{4},y= \frac {1}{2}$.

答案： 【解】原式$=(\sqrt{2x})^{2}-(\sqrt{y})^{2}-[(\sqrt{2x})^{2}-$$2\sqrt{2x}×\sqrt{y}+(\sqrt{y})^{2}]=2x-y-2x+2\sqrt{2xy}-y=$$2\sqrt{2xy}-2y$.
思路分析
分别利用平方差公式、完全平方公式和分母有理化以及合并同类二次根式计算出 “○”中填入不同符号的结果,然后根据计算结果进行判断即可.
刷有所得
用夹逼法估算无理数的一般步骤:
1. 确定整数部分:首先找出与无理数邻近的两个完全平方数,以此来确定无理数的整数部分.
2. 确定小数部分:在确定了整数部分之后,进一步缩小范围.
3. 精确度考量:在估算过程中,需要注意题目要求的精确度.
当$x=\frac{3}{4}$,$y=\frac{1}{2}$时,原式$=2\sqrt{2×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}}-2×$$\frac{1}{2}=\sqrt{3}-1$.