《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1[2025福建泉州期中,中]老师设计了一个“接力游戏”,用合作的方式完成二次根式的混合运算,如图,老师把题目交给一位同学,他完成一步解答后交给第二位同学,依次进行,最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.接力中,自己负责的式子出现错误的是( )

A.小明和小丽
B.小丽和小红
C.小红和小亮
D.小丽和小亮

答案： B 【解析】因为$(\sqrt{12}+\sqrt{\frac{1}{18}})÷\sqrt{3}=\sqrt{12}÷\sqrt{3}+$$\sqrt{\frac{1}{18}}÷\sqrt{3}$,所以小明没有出现错误. 因为$\sqrt{12}÷\sqrt{3}+$$\sqrt{\frac{1}{18}}÷\sqrt{3}=\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{54}}$,所以小丽出现错误. 因为$\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{6}}=2+\frac{\sqrt{6}}{6}$,所以小红出现错误. 因为$2+$$\sqrt{\frac{1}{36}}=2+\frac{1}{6}=2\frac{1}{6}$,所以小亮没有出现错误. 故选 B.

2[2025河南鹤壁质检,中]张老师在黑板上出了一道计算题:$(3-\sqrt {6})◯ (\sqrt {6}+3)$,要求同学们在“$◯$”中填入适当的运算符号,使得计算结果是有理数,“$◯$”中可以填的符号是( )

A.×或÷
B.+或÷
C.+或×
D.-或×

答案： C 【解析】当“○”中填的符号是×时,$(3-$$\sqrt{6})×(\sqrt{6}+3)=9-6=3$;当“○”中填的符号是÷时,$(3-\sqrt{6})÷(\sqrt{6}+3)=\frac{3-\sqrt{6}}{\sqrt{6}+3}=$$\frac{(3-\sqrt{6})^{2}}{(3+\sqrt{6})×(3-\sqrt{6})}=\frac{15-6\sqrt{6}}{3}=5-2\sqrt{6}$;当“○”中填的符号是+时,$(3-\sqrt{6})+(\sqrt{6}+3)=3-\sqrt{6}+$$\sqrt{6}+3=6$;当“○”中填的符号是-时,$(3-\sqrt{6})-(\sqrt{6}+3)=3-\sqrt{6}-\sqrt{6}-3=-2\sqrt{6}$. 因为 3和 6 是有理数,$5-2\sqrt{6}$,$-2\sqrt{6}$都是无理数,所以当“○”中填的符号是×或+时,计算结果是有理数. 故选 C.

3[2025重庆渝中区期中,中]估计$(3\sqrt {18}+\sqrt {72})÷\sqrt {6}$的值应在( )

A.6和7之间
B.7和8之间
C.8和9之间
D.9和10之间

答案： C 【解析】$(3\sqrt{18}+\sqrt{72})÷\sqrt{6}=(9\sqrt{2}+$$6\sqrt{2})÷\sqrt{6}=15\sqrt{2}÷\sqrt{6}=15\sqrt{\frac{2}{6}}=5\sqrt{3}=\sqrt{75}$.因为$64＜75＜81$,所以$8＜\sqrt{75}＜9$,所以$(3\sqrt{18}+$$\sqrt{72})÷\sqrt{6}$的值应在 8 和 9 之间. 故选 C.

4[2025河北邯郸调研,中]幻方是一种传统游戏,类比幻方,我们给出如图所示的方格,要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等,则$(A+B)\cdot D+C$的值为____.

答案： $12+\sqrt{5}$【解析】因为方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等,所以$A=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}×5\sqrt{2}}{5×\sqrt{2}}=2\sqrt{5}$,$B=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}×5\sqrt{2}}{10×\sqrt{10}}=$$1$,$C=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}×5\sqrt{2}}{5×\sqrt{10}}=2$,$D=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}×5\sqrt{2}}{10×\sqrt{2}}=$$\sqrt{5}$,所以$(A+B)\cdot D+C=(2\sqrt{5}+1)×\sqrt{5}+2=$$10+\sqrt{5}+2=12+\sqrt{5}$. 故答案为$12+\sqrt{5}$.

5[2025四川成都质检,中]已知$x+y= -6,xy= 8$,则代数式$x\sqrt {\frac {y}{x}}+y\sqrt {\frac {x}{y}}$的值为____.

答案： $-4\sqrt{2}$【解析】因为$x+y=-6$,$xy=8$,所以$x＜$$0$,$y＜0$,所以$x\sqrt{\frac{y}{x}}+y\sqrt{\frac{x}{y}}=-\sqrt{xy}-\sqrt{xy}=$$-2\sqrt{xy}=-2\sqrt{8}=-4\sqrt{2}$. 故答案为$-4\sqrt{2}$.

6[2025广东深圳调研,中]数学课上,同学们对王老师黑板上的题很感兴趣,他们答案都不同,且众说纷纭.题目如下:化简:$\sqrt {\frac {a}{bc}}+\sqrt {\frac {b}{ca}}+\sqrt {\frac {c}{ab}}$.
①小浩说:当a,b,c皆为正数时,化简结果为$\frac {a+b+c}{abc}\sqrt {abc}$;②小特说:当a,b,c皆为负数时,化简结果为$\frac {b-c-a}{abc}\sqrt {abc}$;③小凌说:当$a＜0,b＞0,c＜0$时,化简结果为$\frac {b-a-c}{abc}\sqrt {abc}$;④小斯说:当$a＞0,b＜0,c＜0$时,化简结果为$\frac {a-c-b}{abc}\sqrt {abc}$.以上同学的说法正确的是____(填序号).

答案： ①③④ 【解析】①当$a$,$b$,$c$皆为正数时,原式$=\sqrt{\frac{a^{2}}{abc}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{abc}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{abc}}=\frac{a}{\sqrt{abc}}+\frac{b}{\sqrt{abc}}+\frac{c}{\sqrt{abc}}=$$\frac{a+b+c}{abc}\sqrt{abc}$,故①正确. ②当$a$,$b$,$c$皆为负数时,$\frac{a}{bc}＜0$,所以$\sqrt{\frac{a}{bc}}$无意义,故②错误. ③当$a＜$$0$,$b＞0$,$c＜0$时,原式$=\sqrt{\frac{a^{2}}{abc}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{abc}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{abc}}=$$\frac{-a}{\sqrt{abc}}+\frac{b}{\sqrt{abc}}+\frac{-c}{\sqrt{abc}}=\frac{b-a-c}{\sqrt{abc}}=\frac{b-a-c}{abc}\sqrt{abc}$,故③正确. ④当$a＞0$,$b＜0$,$c＜0$时,原式$=\sqrt{\frac{a^{2}}{abc}}+$$\sqrt{\frac{b^{2}}{abc}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{abc}}=\frac{a}{\sqrt{abc}}+\frac{-b}{\sqrt{abc}}+\frac{-c}{\sqrt{abc}}=\frac{a-b-c}{\sqrt{abc}}=$$\frac{a-b-c}{abc}\sqrt{abc}$,故④正确.综上,①③④正确. 故答案为①③④.

7[2025山东济南校级质检,中]阅读下面的计算过程:$\frac {1}{\sqrt {2}+1}= \frac {1×(\sqrt {2}-1)}{(\sqrt {2}+1)(\sqrt {2}-1)}= \sqrt {2}-1$;
$\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}= \frac {1×(\sqrt {3}-\sqrt {2})}{(\sqrt {3}+\sqrt {2})(\sqrt {3}-\sqrt {2})}= \sqrt {3}-\sqrt {2}$;
$\frac {1}{\sqrt {5}+2}= \frac {1×(\sqrt {5}-2)}{(\sqrt {5}+2)(\sqrt {5}-2)}= \sqrt {5}-2$.
请解决下列问题.
(1)根据上面的规律,请直接写出计算结果:$\frac {1}{\sqrt {n+1}+\sqrt {n}}= $____.($n≥1$,且n为正整数)
(2)利用上面的解法,请化简:$\frac {1}{1+\sqrt {2}}+\frac {1}{\sqrt {2}+\sqrt {3}}+\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {4}}+… +\frac {1}{\sqrt {98}+\sqrt {99}}+\frac {1}{\sqrt {99}+\sqrt {100}}$.
(3)你能化简$\frac {1}{\sqrt {n+1}-\sqrt {n}}$($n≥1$,且n为正整数)吗?若能,请写出化简过程.

答案： 【解】
(1)$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1×(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. 故答案为$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.
(2)$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+$$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+$$\sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-1=10-1=9$.
(3)能.$\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{1×(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=$$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$.