《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1 [2024 江苏淮安期中]在 $ 3.141\ 592\ 6,-\frac {1}{3},-0.\dot {6},\frac {π}{3},2.010\ 010\ 001\ 0… $ (相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1)中,无理数有 ( )

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

答案： A 【解析】无理数有$\frac{\pi}{3}$，2.010 010 001 0…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），共2个. 故选A.

2 如图,由 16 个边长为 1 的小正方形拼成的图案中,有四条线段 $ PA,PB,PC,PD $,其中长度不是无理数的为 ( )

A.$ PA $
B.$ PB $
C.$ PC $
D.$ PD $

答案： B 【解析】$AP^{2}=3^{2}+3^{2}=18$；$BP^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，则$BP=5$；$CP^{2}=2^{2}+4^{2}=20$；$DP^{2}=4^{2}+1^{2}=17$，则BP的长度是有理数，AP，CP，DP的长度是无理数，故选B.

3 [2025 山东德州期中]当半径为 $ r\ m $ 的圆的面积为 $ 50π\ m^{2} $ 时,半径 $ r $ 是______(填“有理数”或“无理数”).

答案： 无理数 【解析】因为$\pi r^{2}=50\pi$，所以$r^{2}=50$，所以r是无理数. 故答案为无理数.

4 如图,在 $ 4×4 $ 的正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1,每个小正方形的顶点叫作格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
(1)在图(1)中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;
(2)在图(2)中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数.

答案：

(1)如图
(1)，$\triangle ABC$即为所求.
(2)如图
(2)，$\triangle GHI$即为所求(答案不唯一).
易错警示 一些比较繁琐的小数容易误判为无理数，例如：0.010 010 001.
　

5 设边长为 4 的正方形的对角线长为 $ x $.
(1)$ x $ 是有理数吗? 说说你的理由.
(2)请你估计一下 $ x $ 在哪两个相邻整数之间.

答案：
(1)x不是有理数. 理由如下：由勾股定理可知$x^{2}=4^{2}+4^{2}=32$，首先x不可能是整数(因为$5^{2}=25$，$6^{2}=36$，所以x在5和6之间)，其次x也不可能是分数(因为若x是最简分数$\frac{n}{m}$，则$(\frac{n}{m})^{2}$仍是一个分数，不等于32). 综上可知，x不是有理数.
(2)x在5和6之间.

6 [2024 安徽宣城期中]下列说法中,正确的是 ( )

A.无理数包括正无理数、零和负无理数
B.无限小数都是无理数
C.正实数包括正有理数和正无理数
D.实数可以分为正实数和负实数两类

答案： C 【解析】无理数包括正无理数和负无理数，故A错误；无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误；实数可分为正实数、零、负实数，故D错误. 故选C.

7 [2025 湖北荆州期中]$ 3 - π $ 的绝对值是______,$ \frac {1}{π} $ 的倒数是______,$ π - 3.14 $ 的相反数是______.

答案： $\pi - 3$ $\pi$ $3.14 - \pi$ 【解析】$3 - \pi$的绝对值是$\pi - 3$. 因为$1÷\frac{1}{\pi}=\pi$，所以$\frac{1}{\pi}$的倒数是$\pi$. $\pi - 3.14$的相反数是$-(\pi - 3.14)=3.14 - \pi$.

8 [2025 湖南长沙调研]请把下列各数填入相应的集合中.
$ \frac {1}{2},5.2,0,12,\frac {22}{7},\frac {π}{3},-|-1|,0.101\ 001,-2^{2},-\frac {5}{3},2\ 025,-0.030\ 030\ 003… $ (相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1).
非负数集合:\…{ \};
分数集合:\…{ \};
无理数集合:\…{ \};
整数集合:\…{ \}.

答案： 【解】非负数集合：$\{\frac{1}{2},5.2,0,12,\frac{22}{7},\frac{\pi}{3},0.101001,2025,\cdots\}$；
分数集合：$\{\frac{1}{2},5.2,\frac{22}{7},0.101001,-\frac{5}{3},\cdots\}$；
无理数集合：$\{\frac{\pi}{3},-0.030030003\cdots($相邻两个3之间0的个数逐次加1$),\cdots\}$；
整数集合：$\{0,12,-|-1|,-2^{2},2025,\cdots\}$.

9 请利用尺规在下面数轴中画出点 $ A $,使点 $ A $ 对应的正数 $ a $ 满足 $ a^{2}= 10 $.

答案：
【解】如图，点A即为所求.