《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1 下列方程组中,是三元一次方程组的是( )

A.$\left\{\begin{array}{l} x+z= 2,\\ xy+x= 4,\\ z-x= 1\end{array} \right. $
B.$\left\{\begin{array}{l} x-\frac {3}{y}= 4,\\ x+z= 6,\\ y-2z= 7\end{array} \right. $
C.$\left\{\begin{array}{l} x= 9,\\ x-y= 4,\\ z-y= 5\end{array} \right. $
D.$\left\{\begin{array}{l} x+y= 8,\\ y-m= 3,\\ z-x= 5\end{array} \right. $

答案： 1. C 【解析】A 选项，含未知数的项的最高次数为 2，不符合题意；B 选项，第一个方程不是整式方程，不符合题意；C 选项，有三个未知数，含未知数的项的次数均是 1，均为整式方程，符合题意；D 选项，有 4 个未知数，不符合题意. 故选 C.

2 三元一次方程$x-y+z= 3$有无数个解,下列四组值中,不是该方程的解的是( )

A.$\left\{\begin{array}{l} x= 1,\\ y= 1,\\ z= 3\end{array} \right. $
B.$\left\{\begin{array}{l} x= 2,\\ y= 1,\\ z= 2\end{array} \right. $
C.$\left\{\begin{array}{l} x= 2,\\ y= 3,\\ z= 4\end{array} \right. $
D.$\left\{\begin{array}{l} x= 3,\\ y= 2,\\ z= 1\end{array} \right. $

答案： 2. D 【解析】A 选项，把$x=1$，$y=1$，$z=3$代入方程，左边$=1 - 1 + 3=3=$右边，所以是方程的解；B 选项，把$x=2$，$y=1$，$z=2$代入方程，左边$=2 - 1 + 2=3=$右边，所以是方程的解；C 选项，把$x=2$，$y=3$，$z=4$代入方程，左边$=2 - 3 + 4=3=$右边，所以是方程的解；D 选项，把$x=3$，$y=2$，$z=1$代入方程，左边$=3 - 2 + 1=2≠$右边，所以不是方程的解. 故选 D.

3 [2024江苏无锡惠山区期末]解三元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} x-y+z= -3,①\\ x+2y-z= 1,②\\ x+y= 0③\end{array} \right. $时,要使解法较为简便,首先应进行的变形为( )

A.$①+②$
B.$①-②$
C.$①+③$
D.$②-③$

答案： 3. A 【解析】解三元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}x - y + z=-3,\enclose{circle}{1}\\x + 2y - z=1,\enclose{circle}{2}\\x + y=0\enclose{circle}{3}\end{array}\right.$时，要使解法较为简便，首先应进行的变形为①+②消去 z. 故选 A.

4 [2024河南郑州调研]解方程组:
(1)$\left\{\begin{array}{l} 3x-y+z= 4,\\ 2x+3y-z= 12,\\ x+y+z= 6.\end{array} \right. $
(2)$\left\{\begin{array}{l} 3x+4y-3z= 3,\\ 2x-3y-2z= 2,\\ 5x-3y+4z= -22.\end{array} \right. $

答案： 4.【解】（1）$\left\{\begin{array}{l}3x - y + z=4,\enclose{circle}{1}\\2x + 3y - z=12,\enclose{circle}{2}\\x + y + z=6,\enclose{circle}{3}\end{array}\right.$①+②，得$5x + 2y=16$，④ ②+③，得$3x + 4y=18$，⑤ ④×2 - ⑤，得$7x=14$，解得$x=2$. 把$x=2$代入④，得$10 + 2y=16$，解得$y=3$. 把$x=2$，$y=3$代入③，得$2 + 3 + z=6$，解得$z=1$. 所以原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}x=2,\\y=3,\\z=1.\end{array}\right.$
（2）$\left\{\begin{array}{l}3x + 4y - 3z=3,\enclose{circle}{1}\\2x - 3y - 2z=2,\enclose{circle}{2}\\5x - 3y + 4z=-22,\enclose{circle}{3}\end{array}\right.$③ - ②，得$3x + 6z=-24$，④ ①×3 + ②×4，得$17x - 17z=17$，即$x - z=1$，⑤ ④与⑤组成方程组，得$\left\{\begin{array}{l}3x + 6z=-24,\enclose{circle}{4}\\x - z=1,\enclose{circle}{5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=-2,\\z=-3.\end{array}\right.$将$\left\{\begin{array}{l}x=-2,\\z=-3\end{array}\right.$代入①，得$-6 + 4y + 9=3$，解得$y=0$，所以原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}x=-2,\\y=0,\\z=-3.\end{array}\right.$

5 某单位职工植树节去植树,甲、乙、丙三个小组共植树50棵,乙组植树的棵数是甲、丙两组和的$\frac {1}{4}$,甲组植树的棵数恰是乙组与丙组的和,问每组各植树多少棵?

答案： 5.【解】设甲组植树 x 棵，乙组植树 y 棵，丙组植树 z 棵.由题意，得$\left\{\begin{array}{l}x + y + z=50,\\y=\frac{1}{4}(x + z),\\x=y + z,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=25,\\y=10,\\z=15.\end{array}\right.$答：甲组植树 25 棵，乙组植树 10 棵، 丙组植树 15 棵.

6 [2025湖北十堰调研]古代数学著作《九章算术》中有一题的译文如下:用卖2只牛、5只羊的钱买13只猪,剩钱1000;用卖3只牛、3只猪的钱买9只羊,钱正好;用卖6只羊、8只猪的钱买5只牛,还差钱600,求牛、羊、猪每只的价钱各是多少.

答案： 【解析】：
本题主要考察三元一次方程组的建立与求解。
根据题目描述，我们可以设牛、羊、猪的单价分别为$x$、$y$、$z$。
根据题意，我们可以列出以下三个方程：
用卖2只牛、5只羊的钱买13只猪，剩钱1000，可以得到方程：
$2x + 5y - 13z = 1000 \quad (1)$
用卖3只牛、3只猪的钱买9只羊，钱正好，可以得到方程：
$3x - 9y + 3z = 0 \quad (2)$
或者简化为：
$x - 3y + z = 0$
用卖6只羊、8只猪的钱买5只牛，还差钱600，可以得到方程：
$6y + 8z - 5x = -600 \quad (3)$
接下来，我们需要解这个三元一次方程组。
首先，我们可以从方程
(2)中解出$x$：
$x = 3y - z \quad (4)$
然后，将方程
(4)代入方程
(1)和方程
(3)中，消去$x$，得到关于$y$和$z$的二元一次方程组。
解这个二元一次方程组，我们可以得到$y$和$z$的值。
最后，将$y$和$z$的值代入方程
(4)中，求出$x$的值。
【答案】：
解：设牛、羊、猪的单价分别为$x$、$y$、$z$。
根据题意，我们可以列出以下方程组：
$\begin{cases}2x + 5y - 13z = 1000 \\x - 3y + z = 0 \\6y + 8z - 5x = -600\end{cases}$
从方程
(2)中解出$x$，得：
$x = 3y - z \quad (4)$
将方程
(4)代入方程
(1)和方程
(3)中，得：
$\begin{cases}2(3y - z) + 5y - 13z = 1000 \\6y + 8z - 5(3y - z) = -600\end{cases}$
化简后得：
$\begin{cases}11y - 15z = 1000 \\-9y + 13z = -600\end{cases}$
解这个二元一次方程组，得：
$\begin{cases}y = 500 \\z = 300\end{cases}$
将$y = 500$和$z = 300$代入方程
(4)中，得：
$x = 1200$
所以，牛、羊、猪的单价分别为1200、500、300。

7 解方程组$\left\{\begin{array}{l} a+b+c= 1,①\\ a-b+c= 5,②\\ 4a+2b+c= 2.③\end{array} \right. $
下面是马虎同学的解题过程,请问他的解题过程正确吗? 如果不正确,请写出正确的解题过程.
解:$①+②$,得$2a+2c= 6$,即$a+c= 3$. ④
$③-②$,得$3a+3b= -3$,即$a+b= -1$. ⑤
联立④⑤得方程组$\left\{\begin{array}{l} a+c= 3,\\ a+b= -1.\end{array} \right. $无法求解,故原方程组无解.

答案： 7.【解】不正确. 正确的解题过程如下：①+②，得$2a + 2c=6$，即$a + c=3$. ④③ - ①×2，得$2a - c=0$. ⑤联立④⑤，得方程组$\left\{\begin{array}{l}a + c=3,\\2a - c=0.\end{array}\right.$解这个二元一次方程组，得$\left\{\begin{array}{l}a=1,\\c=2.\end{array}\right.$把$\left\{\begin{array}{l}a=1,\\c=2\end{array}\right.$代入①，得$b=-2$. 所以原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}a=1,\\b=-2,\\c=2.\end{array}\right.$