《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

14 [2025四川宜宾期中]已知a-1是64的立方根,3a+b-1的算术平方根是4,c是$\sqrt{16}$的平方根,求abc的值.

答案： 【解】由题意，得$a - 1=\sqrt[3]{64}=4$，$3a + b - 1 = 4^{2}=16$，$c=\pm\sqrt{4}=\pm2$，所以$a = 5$，$b = 2$，所以$abc = 5×2×2 = 20$或$abc = 5×2×(-2)=-20$。

15 如图,每个小正方形的边长均为1.
(1)图中阴影部分的面积是______,阴影部分正方形的边长a是______.
(2)估计边长a的值在两个相邻整数______与______之间.
(3)我们知道π是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此π的小数部分我们不可能全部写出来,我们可以用3来表示它的整数部分,用π-3表示它的小数部分.设边长a的整数部分为x,小数部分为y,求x-y的相反数.

答案： 【解】
(1)题图中阴影部分的面积是$5×5 - 4×\frac{1}{2}×2×3 = 25 - 12 = 13$，则阴影部分正方形的边长a是$\sqrt{13}$。故答案为13，$\sqrt{13}$。
(2)因为$9＜13＜16$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$。故答案为3，4。
(3)因为$3＜\sqrt{13}＜4$，所以a的整数部分$x = 3$，小数部分$y=\sqrt{13}-3$。因为$x - y = 3-(\sqrt{13}-3)=6-\sqrt{13}$，所以$x - y$的相反数为$\sqrt{13}-6$。

16 [2025广东佛山期中]我们知道$(\sqrt{13}+3)×(\sqrt{13}-3)= 4$,因此在计算$\frac{1}{\sqrt{13}-3}$时,分子和分母同时乘$\sqrt{13}+3$,从而将分母中含有的根号通过化简去掉,这就是分母有理化.
(1)化简:$\frac{1}{4+\sqrt{15}}$;
(2)若$a= \frac{1}{3-\sqrt{7}}$,求$4a^{2}-12a+5$的值;
(3)若$a= \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$,$b= \frac{1}{\sqrt{5}-2}$,比较a和b的大小.

答案： 【解】
(1)原式$=\frac{4-\sqrt{15}}{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})}=\frac{4-\sqrt{15}}{16 - 15}=4-\sqrt{15}$。
(2)因为$a=\frac{1}{3-\sqrt{7}}=\frac{3+\sqrt{7}}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}=\frac{3+\sqrt{7}}{2}$，所以原式$=4×(\frac{3+\sqrt{7}}{2})^{2}-12×\frac{3+\sqrt{7}}{2}+5=4×\frac{(3+\sqrt{7})^{2}}{4}-6(3+\sqrt{7})+5=(3+\sqrt{7})^{2}-18-6\sqrt{7}+5=9+6\sqrt{7}+7-18-6\sqrt{7}+5=3$。
(3)$a=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$，$b=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$。因为$\sqrt{6}＞2$，所以$\sqrt{6}+\sqrt{5}＞2+\sqrt{5}$，所以$a＞b$。

17 [2025山东青岛质检]观察图形,认真分析下列各式,然后解答问题:
$OA_{1}= 1$;
$OA_{2}= \sqrt{1^{2}+1^{2}}= \sqrt{2}$;$S_{1}= \frac{1}{2}×1×1= \frac{1}{2}$;
$OA_{3}= \sqrt{2+1^{2}}= \sqrt{3}$;$S_{2}= \frac{1}{2}×\sqrt{2}×1= \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$OA_{4}= \sqrt{3+1^{2}}= \sqrt{4}$;$S_{3}= \frac{1}{2}×\sqrt{3}×1= \frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1)推算出$OA_{5}$= ______.
(2)若n是正整数,则$S_{n}$= ______.
(3)若一个三角形的面积是3,则它是第几个三角形?
(4)求出$s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}+…+s_{100}^{2}$的值.

答案： 【解】
(1)因为$OA_{n}=\sqrt{n}$，所以$OA_{5}=\sqrt{5}$。故答案为$\sqrt{5}$。
(2)结合已知数据，可得$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$。故答案为$\frac{\sqrt{n}}{2}$。
(3)若一个三角形的面积是3，则$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}=3$，所以$\sqrt{n}=2×3 = 6=\sqrt{36}$，所以$n = 36$，所以它是第36个三角形。
(4)$S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+... +S_{100}^{2}=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+... +\frac{100}{4}=\frac{1+2+3+... +100}{4}=\frac{2525}{2}$。