《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

一、选择题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
1 以方程组$\begin{cases}x = 2y,\\y - x = 3\end{cases} 的解为坐标的点(x,y)$在平面直角坐标系中的位置是 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2 新考向传统文化[2025吉林白城期末]中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题:“马四匹、牛六头,共价四十八两(两是我国古代一种货币单位);马三匹、牛五头,共价三十八两.问马、牛各价几何?”设马每匹x两,牛每头y两,根据题意可列方程组为 ( )
A.$\begin{cases}4x + 6y = 38,\\3x + 5y = 48\end{cases} $ B.$\begin{cases}4y + 6x = 48,\\3y + 5x = 38\end{cases} $
C.$\begin{cases}4x + 6y = 48,\\5x + 3y = 38\end{cases} $ D.$\begin{cases}4x + 6y = 48,\\3x + 5y = 38\end{cases} $

答案： 1.C【解析】{x=2y,①y-x=3,②把①代入②,得y-2y=3,解得y=-3.把y=-3代入①,得x=-6,所以此方程组的解为{x=-6,y=-3,所以点(x,y)的坐标为(-6,-3),所以该点在第三象限.故选C.2.D【解析】根据题意可列方程组为{4x+6y=48,3x+5y=38.故选D.

3 [2025河北唐山调研]如图,两个天平都平衡(相同形状的物体质量相等),则与1个球质量相等的正方体的个数为 ( )

A.4
B.3
C.2
D.1

答案： C【解析】设1个球、1个圆锥、1个正方体的质量分别为x,y,z,则{2x=4y,2z=2y,所以{x=2y,z=y,所以x=2z,即与1个球质量相等的正方体的个数为2.故选C.

4 已知关于x,y的方程组$\begin{cases}4x - y = - 5,\\ax + by = - 1\end{cases} 和\begin{cases}3x + y = - 9,\\3ax + 4by = 18\end{cases} $有相同的解,则$\sqrt{a + b}$的算术平方根是 ( )

A.0
B.$\pm\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.2

答案： C【解析】由题意可知,方程组{4x-y=-5,3x+y=-9和{ax+by=-1,3ax+4by=18有相同的解,在方程组{4x-y=-5,①3x+y=-9②中,①+②得7x=-14,即x=-2.将x=-2代入①得y=-3,所以方程组{4x-y=-5,3x+y=-9的解为{x=-2,y=-3.在方程组{ax+by=-1,③3ax+4by=18④中,③×3得3ax+3by=-3,⑤④-⑤得by=21.把y=-3代入得b=-7.将x=-2,y=-3,b=-7代入③得a=11,所以a+b=4,所以√(a+b)=2,所以√(a+b)的算术平方根是√2,故选C.

5 [2025山东青岛调研]一次函数$y_1 = kx + 5与一次函数y_2 = 2x + k$在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,两条直线交于点$P(2,m)$,与两坐标轴分别交于A,B,C,D四个点,则下列结论:
①一元一次方程$kx + 5 = m的解为x = 2$;②$k = - \frac{1}{3}$;③方程组$\begin{cases}kx - y = - 5,\\2x - y = - k\end{cases} 的解为\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases} $;④四边形AODP的面积为$\frac{23}{4}$,其中正确的是 ( )

A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④

答案： D【解析】因为直线y₁=kx+5与直线y₂=2x+k交于点P(2,m),所以一元一次方程kx+5=m的解为x=2,2k+5=4+k,故①正确;解2k+5=4+k,得k=-1,故②错误;所以y₁=-x+5,y₂=2x-1,把P(2,m)代入y₁=-x+5,得-2+5=m,所以m=3,所以P(2,3),所以方程组{kx-y=-5,2x-y=-k的解为{x=2,y=3,故③正确;因为y₁=-x+5,y₂=2x-1,所以A(0,5),D(1/2,0),所以OA=5,OD=1/2.连接OP,则S四边形AODP=S△AOP+S△DOP=1/2×5×2+1/2×1/2×3=23/4,故④正确.综上,正确的是①③④,故选D.

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
6 若关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases}x + 2y = 4k,\\x - y = k\end{cases} 的解也是2x + y = 10$的解,则k的值为____.
7 [2024湖南长沙质检]一个两位数,十位数字比个位数字大3,若将十位数字和个位数字交换位置,所得的新两位数比原两位数的$\frac{1}{3}$多15,则这个两位数是____.

答案： 6.2【解析】方程组{x+2y=3k,①x-y=k,②①+②得2x+y=5k.又因为2x+y=10,所以5k=10,所以k=2.故答案为2.7.63思路分析设十位数字x 个位数字y→x-y=3原两位数:(10x + y)新两位数:(10y + x)→列方程组求x,y【解析】设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y.由题意得{x-y=3,10y+x=1/3(10x+y)+15,解得{x=6,y=3,所以这个两位数为63.故答案为63.

8 [2024青海西宁质检]如图,某电视背景墙由10块形状、大小完全相同的长方形墙砖砌成(厚度忽略不计),则这个电视背景墙的面积是____$m^2$.

答案： 3.6【解析】设一块长方形墙砖的长为x m,宽为y m.依题意得{x+y=1.5,2x=x+4y,解得{x=1.2,y=0.3,所以电视背景墙的面积为2×1.2×1.5=3.6(m²).故答案为3.6.

9 已知二元一次方程组$\begin{cases}y - kx = 4,\\y + 3x = b\end{cases} 的解为\begin{cases}x = 2,\\y = 6,\end{cases} $则图中三角形ABC的面积为____.

答案： 24【解析】因为二元一次方程组{y-kx=4,y+3x=b的解为{x=2,y=6,所以函数y=kx+4与函数y=-3x+b的图象的交点为(2,6).代入y=kx+4,得6=2k+4,解得k=1;代入y=-3x+b,得6=-6+b,解得b=12,所以两函数表达式为y=x+4与y=-3x+12,所以易得B(-4,0),C(4,0),所以BC=8,所以三角形ABC的面积为1/2×8×6=24.故答案为24.

10 甲、乙、丙三家花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物(三种都要采购),多肉、茉莉花、绣球的单价分别为5元/株、15元/株、25元/株,乙采购的多肉数量是甲的10倍,茉莉花数量是甲的6倍,绣球数量是甲的8倍,丙采购的多肉数量是甲的3倍,茉莉花数量是甲的7倍,绣球数量和甲相同,三家花店采购共花费金额2510元,丙比甲多用420元,则三家花店采购多肉共花费____元.

答案： 420【解析】设甲花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物x株,y株,z株,则乙花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物10x株,6y株,8z株,丙花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物3x株,7y株,z株.由题意得5(x+10x+3x)+15(y+6y+7y)+25(z+8z+z)=2510,5×3x+15×7y+25z-(5x+15y+25z)=420,所以{7x+21y+25z=251,①x+9y=42,②由②得x=42-9y.③因为x,y都是正整数,所以y的取值可能是1,2,3,4.把③代入①并整理得z=(42y-43)/25.因为z是正整数,所以y的思路分析先用含k的代数式表示2x+y,再根据2x+y=10求出k的值.思路分析两函数图象的交点即为两函数对应的方程组的解,由此可得出A点的坐标,把A点的坐标代入两函数表达式,求得k,b的值,得到两函数表达式,即可求得B,C的坐标,利用三角形面积公式即可求得三角形ABC的面积.取值只能是4.当y=4时,x=42-9y=6,所以5(x+10x+3x)=70x=70×6=420,所以三家花店采购多肉共花费420元.故答案为420.