《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1 [2025 山东东营质检] 数学课堂上,王老师让大家用加减消元法解方程组 $\left\{\begin{array}{l} 2x + 5y = -10,\enclose{circle}{1}\\ 5x - 3y = 2,\enclose{circle}{2}\end{array} \right.$ 下面是四位同学的求解思路,其中正确的是( )

A.要消去 $y$,可以将 $\enclose{circle}{1}×5 + \enclose{circle}{2}×2$
B.要消去 $x$,可以将 $\enclose{circle}{1}×3 - \enclose{circle}{2}×5$
C.要消去 $y$,可以将 $\enclose{circle}{1}×3 + \enclose{circle}{2}×2$
D.要消去 $x$,可以将 $\enclose{circle}{1}×5 - \enclose{circle}{2}×2$

答案： D 【解析】$\left\{\begin{array}{l} 2x+5y=-10,①\\ 5x-3y=2,②\end{array}\right. $要消去 y,可以将①×3+②×5,要消去 x,可以将①×5-②×2,故选 D.

2 [2025 河南周口质检] 方程组 $\left\{\begin{array}{l} x + y = 0,\\ 2x - y = 6\end{array} \right.$ 的解为____。

答案： $\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-2\end{array}\right. $【解析】$\left\{\begin{array}{l} x+y=0,①\\ 2x-y=6,②\end{array}\right. $①+②,得$3x=6$,解得$x=2$.把$x=2$代入①,得$2+y=0$,解得$y=-2$,所以原方程组的解是$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-2.\end{array}\right. $故答案为$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-2.\end{array}\right. $

3 解方程组：(1)$\left\{\begin{array}{l} 2x + 3y = 1,\\ 4x - y = 9.\end{array} \right.$ (2)$\left\{\begin{array}{l} 2x + 3y = 10,\\ \frac{2x + y}{2} - \frac{1 + y}{4} = 1.\end{array} \right.$

答案： 【解】
(1)$\left\{\begin{array}{l} 2x+3y=1,①\\ 4x-y=9,②\end{array}\right. $①+②×3,得$14x=28$,解得$x=2$.把$x=2$代入②,得$8-y=9$,解得$y=-1$,故原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-1.\end{array}\right.$
(2)方程组整理,得$\left\{\begin{array}{l} 2x+3y=10,①\\ 4x+y=5,②\end{array}\right. $①×2-②,得$5y=15$,解得$y=3$.把$y=3$代入①,得$2x+9=10$,解得$x=\frac {1}{2}$.故原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x=\frac {1}{2},\\ y=3.\end{array}\right. $

4 由方程组 $\left\{\begin{array}{l} 2x - 2y = m + 3,\\ x + 2y = 2m + 4\end{array} \right.$ 可得 $x$ 与 $y$ 的关系式是( )

A.$3x = 7 + 3m$
B.$5x - 2y = 10$
C.$-3x + 6y = 2$
D.$3x - 6y = 2$

答案： 解：$\left\{\begin{array}{l} 2x - 2y = m + 3,①\\ x + 2y = 2m + 4,②\end{array}\right.$
①+②，得$3x=3m+7$，即$3x=7+3m$。
答案：A

5 [2023 四川眉山中考] 已知关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{l} 3x - y = 4m + 1,\\ x + y = 2m - 5\end{array} \right.$ 的解满足 $x - y = 4$,则 $m$ 的值为( )

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： B 【解析】$\left\{\begin{array}{l} 3x-y=4m+1,①\\ x+y=2m-5,②\end{array}\right. $①-②得$2x-2y=2m+6$,所以$x-y=m+3$.由$x-y=4$,可得$m+3=4$,解得$m=1$,故选 B.

6 [2024 江苏镇江质检] 对于有理数 $x$,$y$,定义一种新运算：$x\oplus y = ax + by$,其中 $a$,$b$ 为常数。已知 $1\oplus 2 = 10$,$(-3)\oplus 2 = 2$,则 $a\oplus b = $____。

答案： 20 【解析】根据题意得$\left\{\begin{array}{l} a+2b=10,①\\ -3a+2b=2,②\end{array}\right. $①-②,得$4a=8$,解得$a=2$.把$a=2$代入①得$2+2b=10$,解得$b=4$,则原式$=2+4=4+16=20$.故答案为 20.

7 [2024 重庆万州区期末] 已知二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{l} 4x - y = 1,\\ -x + 4y = 4,\end{array} \right.$ 则 $(x + y)(x - y)$ 的值等于____。

答案： -1 【解析】$\left\{\begin{array}{l} 4x-y=1,①\\ -x+4y=4,②\end{array}\right. $①+②,得$3x+3y=5$,则$x+y=\frac {5}{3}$,①-②,得$5x-5y=-3$,则$x-y=-\frac {3}{5}$,所以$(x+y)(x-y)=\frac {5}{3}×(-\frac {3}{5})=-1$,故答案为-1.

8 [2024 山东临沂期末] 已知二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{l} 2x - y = 5,\\ x - 2y = 1,\end{array} \right.$ 则 $x - y$ 的值为____。

答案： 2 【解析】$\left\{\begin{array}{l} 2x-y=5,①\\ x-2y=1,②\end{array}\right. $②×2,得$2x-4y=2$,③ ①-③,得$3y=3$,解得$y=1$.将$y=1$代入①,得$x=3$,所以原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=1,\end{array}\right. $所以$x-y=2$.故答案为 2.

9 足球比赛的计分规则为胜一场积 3 分,平一场积 1 分,负 1 场积 0 分。小虎队在校足球联赛中踢了 14 场,其中负了 4 场,共积 18 分,那么小虎队胜了____场。

答案： 4 【解析】设小虎队胜了x场,平了y场.由题意可得$\left\{\begin{array}{l} x+y=14-4,\\ 3x+y=18,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=6.\end{array}\right. $所以胜了4场.

10 解方程组：$\left\{\begin{array}{l} \frac{x - 1}{2} - \frac{y}{3} = 1,\enclose{circle}{1}\\ y + 3x = 5.\enclose{circle}{2}\end{array} \right.$
下面是马虎的解答,你认为他的解法正确吗？若不正确,请给出正确解法。
解：方程 $\enclose{circle}{1}$ 去分母,得 $3(x - 1) - 2y = 1$,即 $3x - 2y = 4$。$\enclose{circle}{3}$
$\enclose{circle}{2} - \enclose{circle}{3}$,得 $3y = 1$,解得 $y = \frac{1}{3}$。
把 $y = \frac{1}{3}$ 代入 $\enclose{circle}{2}$,得 $\frac{1}{3} + 3x = 5$,解得 $x = \frac{14}{9}$。
所以原方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l} x = \frac{14}{9},\\ y = \frac{1}{3}.\end{array} \right.$

答案： 【解】他的解法不正确.正确解法如下:方程①去分母,得$3(x-1)-2y=6$,即$3x-2y=9$.③ ②-③,得$3y=-4$,解得$y=-\frac {4}{3}$.把$y=-\frac {4}{3}$代入②,得$-\frac {4}{3}+3x=5$,解得$x=\frac {19}{9}$.所以原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x=\frac {19}{9},\\ y=-\frac {4}{3}.\end{array}\right. $