《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1 [2025上海徐汇区期中]下列从左到右的变形不一定正确的是( )

A.$\sqrt { - a } \cdot \sqrt { - b } = \sqrt { a b }$
B.$\sqrt { \frac { b } { a ^ { 2 } } } = \frac { \sqrt { b } } { \sqrt { a ^ { 2 } } }$
C.$\sqrt { \frac { 1 } { a } } = \frac { 1 } { \sqrt { a } }$
D.$\sqrt { a b } = \sqrt { a } \cdot \sqrt { b }$

答案： D 【解析】$\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}=\sqrt{ab}$，故 A 不符合题意；由$\sqrt{\dfrac{b}{a^{2}}}$可知$a^{2}＞0$，$\dfrac{b}{a^{2}}\geqslant0$，所以$b\geqslant0$，所以$\sqrt{\dfrac{b}{a^{2}}}=\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a^{2}}}$，故 B 不符合题意；由$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$可知$a＞0$，所以$\sqrt{\dfrac{1}{a}}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}$，故 C 不符合题意；当$a＜0$，$b＜0$时，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$不成立，故 D 符合题意. 故选 D.

2 [2025陕西西安质检]若$\sqrt { b - 4 } + ( a - 3 ) ^ { 2 } = 0$,则化简$\sqrt { \frac { a } { b } }$的结果是( )

A.$\frac { 3 } { 2 }$
B.$\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
C.$\pm \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 2 }$
D.$\frac { 2 \sqrt { 3 } } { 2 }$

答案： B 【解析】由非负性可知$b - 4=0$，$a - 3=0$，所以$b = 4$，$a=3$，所以$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. 故选 B.

3 [2024河南洛阳期中]化简二次根式$\sqrt { - \frac { 1 } { x } } ( x ＜ 0 )$正确的是( )

A.$\frac { \sqrt { x } } { x }$
B.$\frac { \sqrt { - x } } { x }$
C.$- \frac { \sqrt { - x } } { x }$
D.$- \frac { \sqrt { x } } { x }$

答案： C 【解析】因为$x＜0$，所以$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}=\sqrt{-\dfrac{x}{x^{2}}}=-\dfrac{\sqrt{-x}}{x}$. 故选 C.

4 [2025山西大同质检]若$\sqrt { 3 } = a$,$\sqrt { 30 } = b$,则$\sqrt { 90 } = $______.(用含$a$,$b$的式子表示)

答案： $ab$ 【解析】因为$\sqrt{90}=\sqrt{3×30}=\sqrt{3}×\sqrt{30}$，$\sqrt{3}=a$，$\sqrt{30}=b$，所以$\sqrt{90}=ab$. 故答案为$ab$.

5 [2025上海浦东新区期中]如果$\frac { 2 } { 3 } \sqrt { 9 x } + 6 \sqrt { \frac { x } { 4 } } = 20$,那么$x = $______.

答案： 16 【解析】因为$\dfrac{2}{3}\sqrt{9x}+6\sqrt{\dfrac{x}{4}}=20$，所以$\dfrac{2}{3}×3\sqrt{x}+6×\dfrac{\sqrt{x}}{2}=20$，即$2\sqrt{x}+3\sqrt{x}=20$，所以$5\sqrt{x}=20$，所以$\sqrt{x}=4$，所以$x = 16$. 经检验：$x = 16$是原方程的解，故答案为 16.

6 [2025四川宜宾期中]下列是最简二次根式的是( )

A.$\sqrt { 25 a }$
B.$\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }$
C.$\sqrt { \frac { a } { 2 } }$
D.$\sqrt { 0.5 }$

答案： B 【解析】$\sqrt{25a}=5\sqrt{a}$，不是最简二次根式，故选项 A 不符合题意；$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$是最简二次根式，故选项 B 符合题意；$\sqrt{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{\sqrt{2a}}{2}$，不是最简二次根式，故选项 C 不符合题意；$\sqrt{0.5}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，不是最简二次根式，故选项 D 不符合题意. 故选 B.

7 [2025江苏无锡期中]请写出一个正整数$m$,使得$\sqrt { 2 m }$是最简二次根式,$m = $______.

答案： 1（答案不唯一） 【解析】因为$\sqrt{2m}$是最简二次根式，$m$为正整数，所以$m$的值可以为 1. 故答案为 1（答案不唯一）.

8 [2025福建泉州期中]下列计算正确的是( )

A.$\sqrt { 2 } + \sqrt { 2 } = 2$
B.$\sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } = \sqrt { 5 }$
C.$4 - 2 \sqrt { 3 } = 2 \sqrt { 3 }$
D.$\sqrt { 18 } - \sqrt { 2 } = 2 \sqrt { 2 }$

答案： D 【解析】$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\neq2$，故选项 A 不符合题意；$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不能合并，故选项 B 不符合题意；4 与$2\sqrt{3}$不能合并，故选项 C 不符合题意；$\sqrt{18}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，故选项 D 符合题意. 故选 D.

9 [2024江苏扬州期中]计算：$\sqrt { a + 8 } - \sqrt { 2 - a } + \sqrt { - a ^ { 2 } } = $______.

答案： $\sqrt{2}$ 【解析】因为$-a^{2}\geqslant0$，$a^{2}\geqslant0$，所以$a = 0$，所以原式$=\sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{0}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}+0=\sqrt{2}$.

10 [2025湖北武汉调研]计算：
(1)$\sqrt { 75 } - \sqrt { 12 }$；
(2)$\frac { \sqrt { 24 } } { 2 } + \sqrt { \frac { 3 } { 2 } }$；
(3)$\sqrt { 8 } + \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } - 2 \sqrt { 6 } + \sqrt { 3 }$；
(4)$\sqrt { 6 } - \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } - ( \sqrt { 24 } - 2 \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } )$.

答案： 【解】（1）原式$=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$；（2）原式$=\dfrac{2\sqrt{6}}{2}+\dfrac{\sqrt{6}}{2}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$；（3）原式$=2\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{6}+\sqrt{3}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{6}+\sqrt{3}$；（4）原式$=\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{6}}{2}-2\sqrt{6}+2×\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\left(1-\dfrac{1}{2}-2+\dfrac{2}{3}\right)\sqrt{6}=-\dfrac{5\sqrt{6}}{6}$.

11 化简：$\sqrt { ( - 4 ) × ( - 9 ) }$.
解：$\sqrt { ( - 4 ) × ( - 9 ) } = \sqrt { - 4 } × \sqrt { - 9 } = ( - 2 ) × ( - 3 ) = 6$.
以上解答过程正确吗？若不正确,请改正.

答案： 【解】不正确. 正确的解答过程如下：$\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{4×9}=\sqrt{4}×\sqrt{9}=2×3=6$.