《2025年初中必刷题八年级数学上册北师大版》

1[2025陕西西安期中,中]已知1号探测气球从海拔5m处匀速上升,同时2号探测气球从海拔15m处匀速上升,两个气球所在位置的海拔y(单位:m)与上升时间x(单位:min)之间的函数关系如图所示.下列说法:①上升20min时,两个气球海拔一样;②1号探测气球所在位置的海拔y与上升时间x的函数关系式是y=x+5;③当两个气球所在位置的海拔相差5m时,上升时间为10min或30min;④记两个气球的海拔差为h,则当0≤x≤50时,h的最大值为15m.其中,说法正确的个数是( )

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1.D 【解析】由图象可知,上升 20 min 时,两个气球海拔一样,都是 25 m,①正确.设 1 号探测气球所在位置的海拔 y 与上升时间 x 的函数关系式是$y=kx+5$,把(20,25)代入,得$25=20k+5$,解得$k=1$,所以 1 号探测气球所在位置的海拔 y 与上升时间 x 的函数关系式是$y=x+5$,②正确.同理求得 2 号探测气球所在位置的海拔 y 与上升时间 x 的函数关系式是$y=\frac {1}{2}x+15$.由题意,得$\frac {1}{2}x+15-(x+5)=5$或$x+5-(\frac {1}{2}x+15)=5$,解得$x=10$或$x=30$,所以当两个气球所在位置的海拔相差5m时,上升时间为 10 min 或 30 min,③正确.④当$0≤x≤20$时,h 的最大值为$15-5=10(m)$,当$20＜x≤50$时,$h=x+5-(\frac {1}{2}x+15)=\frac {1}{2}x-10$.因为$\frac {1}{2}＞0$,所以 h 随 x 的增大而增大,所以当$x=50$时,h 有最大值,最大值为$\frac {1}{2}×50-10=15(m)$,④正确.综上,说法正确的个数是 4.故选 D.

2[2024重庆北碚区期中,较难]已知甲、乙两地相距480km,一辆出租车从甲地出发前往乙地,一辆货车沿同一条公路从乙地出发前往甲地,两车同时出发,货车途经服务区时,停下来装完货物后,发现此时与出租车相距120km,货车改变速度继续出发$\frac{2}{3}$h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早15min到达甲地.如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象,则下列说法:①a=120;②点F的坐标为(8,0);③出租车从乙地返回甲地的速度为128km/h;④出租车原路返回的过程中,货车出发$\frac{125}{17}$h或$\frac{123}{15}$h时都与出租车相距12km.正确的是______. (填序号)

答案： 2.①②③ 【解析】由题图可得$C(4,480)$,设OC 所在直线的表达式为$y=kx$,把$C(4,480)$代入得$480=4k$,解得$k=120$,则 OC 所在直线的表达式为$y=120x$,把$(1,a)$代入$y=120x$,得$a=120$,故①正确.由图象得货车行驶$\frac {3}{2}h$后开始停下来装货物,装完后发现此时与出租车相距 120 km.因为$a=120$,所以货车装完货物时与乙地相距 120 km,所以此时出租车距离乙地$120+120=240(km)$,所以出租车距离甲地$480-240=240(km)$.把$y=240$代入$y=120x$得$240=120x$,解得$x=2$,所以货车装完货物时,$x=2$,则$B(2,120)$.根据货车改变速度继续出发$\frac {2}{3}h$后与出租车相遇,可得$\frac {2}{3}×$(出租车的速度+货车的速度)=120.根据图象可得出租车的速度为$120km/h$,所以相遇时,货车的速度为$120÷\frac {2}{3}-120=60(km/h)$,故可设 BG 所在直线的表达式为$y=60x+b$,将$B(2,120)$代入$y=60x+b$,可得$120=120+b$,解得$b=0$,所以 BG 所在直线的表达式为$y=60x$,故货车装完货物后前往甲地的过程中,距其出发地的距离 y(km)与行驶时间 x(h)之间的函数关系式为$y=60x$.把$y=480$代入$y=60x$,可得$480=60x$,解得$x=8$,所以$G(8,480)$,所以$F(8,0)$,故②正确.根据出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早15 min 到达甲地,可得$EF=\frac {15}{60}=\frac {1}{4}$,所以$E(\frac {31}{4},0)$,所以出租车原路返回的速度为$480÷(\frac {31}{4}-4)=128(km/h)$,故③正确.设在出租车原路返回的过程中,货车出发 z h 与出租车相距 12 km,此时货车距离乙地 60z km,出租车距离乙地$128(z-4)=(128z-512)km$,分以下两种情况讨论:出租车和货车第二次相遇前相距 12 km 时,可得$60z_{1}-(128z_{1}-512)=12$,解得$z_{1}=\frac {125}{17}$;出租车和货车第二次相遇后相距 12 km 时,可得$(128z_{2}-512)-60z_{2}=12$,解得$z_{2}=\frac {131}{17}$,故在出租车原路返回的过程中,货车出发$\frac {125}{17}h$或$\frac {131}{17}h$时都与出租车相距 12 km,故④错误.

3[2025河南郑州校级期中,中]某物业进行绿化改造,现需要购买大量的景观树树苗.某苗木种植公司给出以下收费方案:
方案一:购买一张会员卡,所有购买的树苗按七折优惠;
方案二:不购买会员卡,所有购买的树苗按九折优惠.
设该物业购买的景观树树苗棵数为x棵,方案一所需费用y₁=k₁x+b₁(k₁,b₁为常数,k₁≠0),方案二所需费用y₂=k₂x(k₂≠0),其函数图象如图所示,请根据图象回答下列问题.
(1)k₁=______,b₁=______.
(2)求每棵树苗的原价.
(3)求按照方案二购买所需费用的函数关系式y₂=k₂x,并说明k₂的实际意义.
(4)若该物业需要购买景观树树苗600棵,采用哪种方案所需费用更少? 请说明理由.

答案： 3.【解】
(1)由图象可得,函数$y_{1}=k_{1}x+b_{1}$过点(0,3000),(200,7200),所以$b_{1}=3000,200k_{1}+b_{1}=7200$,所以$k_{1}=21$.故答案为 21,3000.
(2)由
(1)可得,每棵树苗按七折优惠的价格是 21 元,所以每棵树苗的原价是$21÷0.7=30$(元),即每棵树苗的原价为 30 元.
(3)因为方案二中所有购买的树苗按九折优惠,所以按照方案二购买每棵树苗的价格为$30×0.9=27$(元),所以$y_{2}=27x,k_{2}$的实际意义是每棵树苗按九折优惠后的价格为 27 元.
(4)采用方案一所需费用更少.理由:由
(1)
(3)可知,$y_{1}=21x+3000,y_{2}=27x$.当$x=600$时,$y_{1}=21×600+3000=15600,y_{2}=27×600=16200$.因为$15600＜16200$,所以采用方案一所需费用更少.

4[2024湖北襄阳期末,较难]小明同学需要经常去复印资料,甲复印社直接按每次复印的页数计费,乙复印社设会员制,但客户需按月支付一定的会员费.两复印社每月收费情况如图所示,根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)乙复印社要求客户每月支付的会员费是______元,甲复印社每页收费是______元.
(2)求出乙复印社复印费用y关于复印页数x的函数表达式,并说明一次项系数的实际意义.
(3)当每月复印多少页时,两复印社复印费用相同?
(4)如果每月复印200页,应选择哪家复印社?

答案： 4.【解】
(1)由图象可知,乙复印社要求客户每月支付的会员费是 18 元,甲复印社每页收费$10÷50=0.2$(元).故答案为 18,0.2.
(2)设乙复印社复印费用 y 关于复印页数 x的函数表达式为$y=kx+b$.把(0,18)代入表达式得$b=18$,所以$y=kx+18$,把(50,22)代入$y=kx+18$得$k=0.08$,所以乙复印社复印费用 y 关于复印页数 x 的函数表达式为$y=0.08x+18$,一次项系数的实际意义为乙复印社每页收费 0.08 元.
(3)由
(1)知,甲复印社复印费用 y 关于复印页数 x 的函数表达式为$y=0.2x$,令$0.2x=0.08x+18$,解得$x=150$.所以当每月复印 150 页时,两复印社复印费用相同.
(4)当$x=200$时,甲复印社的复印费用为$0.2×200=40$(元),乙复印社的复印费用为$0.08×200+18=34$(元).因为$40＞34$,所以每月复印 200 页时,应选择乙复印社.