《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

15. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，以点$C$为圆心，$CA$为半径的圆与$AB$交于点$D$，则$AD$的长为_______.

答案： $\frac{18}{5}$

16. 圆锥的高是$3\sqrt{3}$cm，侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面积为_______$cm^{2}$.

答案： 9π

17. 如图，在边长为 8 的正方形$ABCD$中，$E$，$F$分别是边$AB$，$BC$上的动点，且$EF = 6$，$M$为$EF$的中点，$P$是边$AD$上的一个动点，则$CP + PM$的最小值是_______.

答案： 8$\sqrt{5}$−3

18. 已知四边形$ABCD$是边长为 4 的正方形，$AC$为对角线，将$\triangle ACD$绕点$A$旋转$45^{\circ}$得到$\triangle AC'D'$，则$CD'$的长为_______.

答案： 4$\sqrt{2}$−4或4$\sqrt{3}$

19. 关于$x$的一元二次方程$2x^{2}+4mx + m = 0$有两个不同的实数根$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\frac{3}{16}$，则$m =$_______.

答案： −$\frac{1}{8}$

20. 如图，边长为 4 的正六边形$ABCDEF$的中心与坐标原点$O$重合，$AF// x$轴，将正六边形$ABCDEF$绕原点$O$顺时针旋转$n$次，每次旋转$60^{\circ}$，当$n = 2024$时，顶点$A$的坐标为_______.

答案： (4,0)

三、解答题(共 60 分)
21. (5 分)先化简，再求值：$(x-\frac{3x}{x + 1})\div\frac{x - 2}{x^{2}+2x + 1}$，其中$x$满足$x^{2}+x - 2 = 0$.

答案： 解:原式=$\frac{x^{2}-2x}{x + 1}\cdot\frac{x^{2}+2x + 1}{x - 2}$
=$\frac{x(x - 2)}{x + 1}\cdot\frac{(x + 1)^{2}}{x - 2}$
=$x^{2}+x$
∵$x^{2}+x - 2 = 0$
∴$x^{2}+x = 2$
∴原式=2.

22. (6 分)如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，$\triangle ABC$三个顶点的坐标分别为$A(1,0)$，$B(0,2)$，$C(4,4)$.
(1) 作出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的图形$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
(2) 将$\triangle ABC$绕点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$，作出旋转后得到的$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$；
(3) 在(2)的条件下，求$AC$在旋转过程中所扫过的面积.

答案：
解:
(1)△A₁B₁C₁如图.
(2)△A₂B₂C₂如图.

(3)OC=$\sqrt{4^{2}+4^{2}}$=4$\sqrt{2}$，OA=1
AC在旋转过程中扫过的面积为
$\frac{[(4\sqrt{2})^{2}-1^{2}]×90×π}{360}$=$\frac{31}{4}$π.