《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

15. 如图，在平面直角坐标系中，$\triangle OAB$的边$OA$在$x$轴的正半轴上，其中$\angle OAB = 90^{\circ}$，$AO = AB = 4$，$D$为$AB$上一点，且$BD = 3AD$.将$\triangle OBD$绕点$O$旋转$90^{\circ}$，点$D$的对应点的坐标为______.

答案： (−1,4)或(1,−4)

16. 如图，$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle EDC$关于点$C$成中心对称，$M$，$N$分别是$AB$，$DE$的中点，若$AB = 6$，$BC = 8$，则$M$，$N$两点之间的距离是______.

答案： 2$\sqrt{73}$

17. 如图，$\triangle ABC$绕点$C$逆时针旋转$n^{\circ}$得到$\triangle DEC$，若$\angle ACE$与$\angle BCD$互补，则$n$的值为______.

答案： 90

18. 如图，$Rt\triangle ABC$与$Rt\triangle ADE$中，$\angle BAC = \angle EAD = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$AE = AD$，连接$BE$，$DC$.$P$为$DC$的中点，连接$AP$，把$\triangle ADE$绕点$A$在平面内自由旋转，若$DE = 4\sqrt{2}$，$BC = 8\sqrt{2}$，则旋转过程中线段$AP$长度的最大值为______.

答案： 6

19. 如图，点$A(1,0)$，$B(5,0)$，线段$AB$绕点$A$逆时针旋转$60^{\circ}$得到线段$AC$，连接$BC$，再把$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转$75^{\circ}$得到$\triangle AB_{1}C_{1}$，点$C$的对应点为点$C_{1}$，则点$C_{1}$的坐标是______.

答案： (1−2$\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$)

20. 如图所示，以$O$为端点画六条射线$OA$，$OB$，$OC$，$OD$，$OE$，$OF$后，再从射线$OA$上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线上所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8，…，那么所描的第2024个点在射线______上.

答案： OB

三、解答题(共60分)
21. (6分)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$的三个顶点坐标分别为$A(1,4)$，$B(1,1)$，$C(3,1)$.
(1)画出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
(2)画出$\triangle ABC$绕点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$后的$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$.

答案：
解:
(1)如图所示，△A₁B₁C₁即为所求作的三角形.　　　
(2)如图所示，△A₂B₂C₂即为所求作的三角形.　　　　　　

22. (6分)如图，已知$\triangle ABC$中，$AB = AC$，把$\triangle ABC$绕点$A$按顺时针方向旋转得到$\triangle ADE$，连接$BD$，$CE$交于点$F$.
(1)求证$\triangle AEC\cong\triangle ADB$；
(2)若$AB = 2$，$\angle BAC = 45^{\circ}$，当四边形$ADFC$是菱形时，求$BF$的长.

答案：
(1)证明:由旋转的性质，得△ABC≌△ADE.
　
　
　
∴∠BAC=∠DAE,AB=AD,
　　　　　　AC=AE.
　　　　　　又AB=AC,
　
　
　
∴AE=AD.
　　　　　　由∠BAC=∠DAE,得
　　　　　　∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE.
　　　　　　即∠CAE=∠BAD.
　　　　　　在△AEC和△ADB中，
　　　　　　$\begin{cases}AE = AD,\\\angle CAE = \angle BAD,\\AC = AB,\end{cases}$
　
　
　
∴△AEC≌△ADB(SAS).
(2)解:
∵四边形ADFC是菱形，
　
　
∴DF//AC.
　　　　又∠BAC=45°,
　
　
∴∠DBA=∠BAC=45°.
　　　　　由
(1),得AB=AD.
　
　
∴∠DBA=∠BDA=45°.
　
　
∴∠DAB=90°.
　
　
∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形.
　
　
∴BD²=2AB²,即BD=2$\sqrt{2}$.
　　　　　易知DF=AB=2,
　
　
∴BF=BD−DF=2$\sqrt{2}$−2.